Номер 38, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $EF_1$ являются скрещивающимися прямыми, так как они не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы.

Рассмотрим плоскость $EE_1F_1F$, которая является боковой гранью призмы и содержит прямую $EF_1$.

Так как $BB_1$ и $EE_1$ являются боковыми ребрами правильной призмы, они параллельны: $BB_1 \parallel EE_1$.

Поскольку прямая $EE_1$ лежит в плоскости $EE_1F_1F$, то прямая $BB_1$ параллельна плоскости $EE_1F_1F$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $EE_1F_1F$. Возьмем точку $B$ на прямой $BB_1$.

Плоскость $EE_1F_1F$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Линия пересечения этих плоскостей – это прямая $EF$.

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $EE_1F_1F$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $EF$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

Ориентируем шестиугольник в декартовой системе координат так, чтобы его центр $O$ находился в начале координат $(0,0)$.

Вершина $A$ может быть расположена на оси $Ox$: $A=(1,0)$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в $(0,0)$:

• $A = (1, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (1/2, \sqrt{3}/2)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ)) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$
• $D = (-1, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ)) = (-1/2, -\sqrt{3}/2)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ)) = (1/2, -\sqrt{3}/2)$

Прямая $EF$ проходит через точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$. Это горизонтальная прямая с уравнением $y = -\sqrt{3}/2$, или $y + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Точка $B$ имеет координаты $(1/2, \sqrt{3}/2)$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ дается формулой $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае прямая: $0x + 1y + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Точка $B=(1/2, \sqrt{3}/2)$.

$d = \frac{|0 \cdot (1/2) + 1 \cdot (\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{1}} = \frac{|\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$