Номер 34, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $CD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CD_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, длина стороны шестиугольника основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, расположенного в плоскости $z=0$ с центром в начале координат:

$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 0) = (-1, 0, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением высоты призмы (равной 1) по координате $z$:

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

$D_1 = (-1, 0, 1)$.

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор направления прямой $BB_1$: $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Возьмем точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на прямой $BB_1$.

Прямая $CD_1$ проходит через точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

Вектор направления прямой $CD_1$: $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Возьмем точку $P_2 = C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на прямой $CD_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ задается формулой:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(0) = (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(-1, 0, 0) \cdot (\sqrt{3}/2, -1/2, 0) = (-1)(\sqrt{3}/2) + (0)(-1/2) + (0)(0) = -\sqrt{3}/2$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.