Номер 28, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

28. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = AA_1 = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $CA_1$ воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все ее ребра равны $1$, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $1$. Выберем координаты вершин основания $ABC$ таким образом:

$A = (0,0,0)$

$C = (1,0,0)$ (вершина $C$ лежит на оси Ox)

Для вершины $B$ найдем ее координаты. Поскольку $AB=1$ и $BC=1$:

$B = (x_B, y_B, 0)$

$AB^2 = (x_B-0)^2 + (y_B-0)^2 + (0-0)^2 = x_B^2 + y_B^2 = 1^2 = 1$.

$BC^2 = (x_B-1)^2 + (y_B-0)^2 + (0-0)^2 = (x_B-1)^2 + y_B^2 = 1^2 = 1$.

Из первого уравнения $y_B^2 = 1 - x_B^2$. Подставим во второе:

$(x_B-1)^2 + (1-x_B^2) = 1$

$x_B^2 - 2x_B + 1 + 1 - x_B^2 = 1$

$2 - 2x_B = 1$

$2x_B = 1 \Rightarrow x_B = \frac{1}{2}$.

Тогда $y_B^2 = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $y_B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (выберем положительное значение).

Итак, координаты вершин нижнего основания:

$A = (0,0,0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1,0,0)$

Поскольку высота призмы равна $1$, координаты вершин верхнего основания получаются добавлением $1$ к z-координатам нижних вершин:

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$C_1 = (1,0,1)$

Найдем направляющие векторы прямых $AB_1$ и $CA_1$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Для прямой $AB_1$ возьмем точку $M_1 = A = (0,0,0)$ и направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $CA_1$ возьмем точку $M_2 = C = (1,0,0)$ и направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CA_1} = A_1 - C = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых, $\vec{M_1M_2} = \vec{AC} = C - A = (1,0,0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется формулой:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])|}{|[\vec{v_1} \times \vec{v_2}]|}$

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1))$

$\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -(\frac{1}{2} + 1), \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{n}|$:

$|\vec{n}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3+9+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Вычислим смешанное произведение $(\vec{M_1M_2} \cdot \vec{n})$:

$(\vec{M_1M_2} \cdot \vec{n}) = (1,0,0) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Упростим выражение:

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$ равно $\frac{\sqrt{5}}{5}$.