Номер 21, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача безразмерная или все величины в условных единицах.

Найти:

Расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $CC_1$ и $AB$ воспользуемся тем фактом, что прямая $CC_1$ является боковым ребром правильной призмы. Это означает, что $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$.

Если одна прямая ($CC_1$) перпендикулярна плоскости, а другая прямая ($AB$) лежит в этой плоскости, то эти две прямые ортогональны (перпендикулярны друг другу). Таким образом, прямые $CC_1$ и $AB$ являются скрещивающимися и взаимно перпендикулярными.

Расстояние между двумя скрещивающимися и взаимно перпендикулярными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой.

Рассмотрим основание призмы - равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 1$.

Найдем расстояние от вершины $C$ (точки, лежащей на прямой $CC_1$) до прямой $AB$. Это расстояние будет являться высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Тогда $CM$ - высота равностороннего треугольника $ABC$.

В равностороннем треугольнике со стороной $a$ высота $h$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 1$, поэтому длина высоты $CM$ равна $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проверим, является ли $CM$ общим перпендикуляром к прямым $CC_1$ и $AB$.

• По построению, $CM \perp AB$, так как $CM$ - высота в равностороннем треугольнике.

• Прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а отрезок $CM$ лежит в плоскости $ABC$. Следовательно, $CC_1 \perp CM$.

Так как $CM$ перпендикулярен обеим прямым $CC_1$ и $AB$, и соединяет их, то $CM$ является общим перпендикуляром, и его длина есть искомое расстояние.

Ответ:

Расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.