Номер 16, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $DE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = AB = 1$.

Длина бокового ребра $l = SB = 2$.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DE$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат.

Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $z$. Высота пирамиды $h = SO$.

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $R = OA = OB = \dots = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOB$ (где $O$ - центр основания, $B$ - вершина основания, $S$ - вершина пирамиды). По теореме Пифагора:

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ будут $(0, 0, \sqrt{3})$.

Координаты вершин основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в начале координат и вершиной $A$ на положительной оси $x$:

$A = (1, 0, 0)$, $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$, $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Для дальнейших расчетов нам нужны координаты точек $S$, $B$, $D$, $E$:

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем направляющие векторы прямых $SB$ и $DE$.

Вектор $\vec{v}_{SB} = \vec{B} - \vec{S} = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{v}_{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ($\vec{r}_1$, $\vec{v}_1$) и ($\vec{r}_2$, $\vec{v}_2$), вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

Возьмем $\vec{r}_1 = \vec{S} = (0, 0, \sqrt{3})$ и $\vec{r}_2 = \vec{D} = (-1, 0, 0)$.

Сначала найдем векторное произведение $\vec{n} = \vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DE}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$ = \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (1/2)) + \mathbf{k} ((1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (1/2))$

$ = \mathbf{i} (0 - 3/2) - \mathbf{j} (0 + \sqrt{3}/2) + \mathbf{k} (-\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4)$

$ = (-3/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2}$

$ = \sqrt{9/4 + 3/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Теперь найдем вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой $(\vec{r}_2 - \vec{r}_1) = \vec{D} - \vec{S}$:

$\vec{D} - \vec{S} = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$

Вычислим скалярное произведение $(\vec{D} - \vec{S}) \cdot \vec{n}$:

$(-1, 0, -\sqrt{3}) \cdot (-3/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$

$ = (-1)(-3/2) + (0)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}/2)$

$ = 3/2 + 0 + 3/2 = 6/2 = 3$

Теперь подставим все значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$d = \frac{6 \sqrt{15}}{15} = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DE$ равно $\frac{2\sqrt{15}}{5}$.