Номер 13, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Решение:

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $Oz$.
Сторона правильного шестиугольника равна расстоянию от его центра до любой вершины, то есть $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.
Высота пирамиды $h$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, радиусом описанной окружности основания и высотой. Например, в $\triangle SOA$: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.
$h^2 + a^2 = l^2$
$h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 + 1 = 4$
$h^2 = 3$
$h = \sqrt{3}$.
Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

Разместим вершины основания. Пусть вершина $A$ лежит на положительной оси $Ox$.
Тогда координаты вершин основания будут:
$A = (a \cos(0^\circ), a \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (a \cos(-60^\circ), a \sin(-60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем векторы направлений для прямых $SB$ и $AF$:
Вектор направления прямой $SB$: $\vec{v}_{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.
Вектор направления прямой $AF$: $\vec{v}_{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу:
$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2))|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$,
где $P_1$ - точка на первой прямой, $P_2$ - точка на второй прямой, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ - векторы направлений прямых.

Возьмем точку $P_1 = S = (0, 0, \sqrt{3})$ на прямой $SB$.
Возьмем точку $P_2 = A = (1, 0, 0)$ на прямой $AF$.
Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{SA} = A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = \vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{AF}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-1/2)) + \mathbf{k} ((1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2))$
$\vec{n} = \mathbf{i} (0 - 3/2) - \mathbf{j} (0 - \sqrt{3}/2) + \mathbf{k} (-\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$
$\vec{n} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{n}$:
$|\vec{n}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{n}$:
$\vec{P_1P_2} = (1, 0, -\sqrt{3})$
$\vec{n} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{P_1P_2} \cdot \vec{n} = (1) \cdot (-3/2) + (0) \cdot (\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = -3/2 + 0 + 0 = -3/2$.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$d = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$