Номер 7, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямые $BA_1$ и $AC_1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат, совместив начало координат с вершиной $A$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна $a=1$.

Координаты вершин куба: $A = (0, 0, 0)$, $B = (1, 0, 0)$, $C = (1, 1, 0)$, $D = (0, 1, 0)$, $A_1 = (0, 0, 1)$, $B_1 = (1, 0, 1)$, $C_1 = (1, 1, 1)$, $D_1 = (0, 1, 1)$.

Для прямой $BA_1$ возьмем точку $P_1 = B = (1, 0, 0)$.

Ее направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Для прямой $AC_1$ возьмем точку $P_2 = A = (0, 0, 0)$.

Ее направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой: $\vec{P_1P_2} = \vec{AB} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1, 0, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$

$\vec{v_2} = (1, 1, 1)$

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$= \vec{i}(-1) - \vec{j}(-2) + \vec{k}(-1) = (-1, 2, -1)$

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$\vec{P_1P_2} = (-1, 0, 0)$

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1) \cdot (-1) + (0) \cdot 2 + (0) \cdot (-1) = 1 + 0 + 0 = 1$

Вычислим модуль векторного произведения $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||$:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Для упрощения домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.