Номер 3, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длины ребер куба $a = 1$ (единица длины).

Прямые $BA_1$ и $CB_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$ (абстрактная единица длины, не требующая конкретного перевода в метры или другие единицы СИ для решения данной задачи).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся координатным методом.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $AB$ направим вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

Координаты вершин куба: $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$.

Рассмотрим прямую $BA_1$. Она проходит через точки $B(1,0,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $BA_1$: $\vec{v_1} = \vec{A_1B} = B - A_1 = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$.

Возьмем точку $P_1 = B = (1,0,0)$ на прямой $BA_1$.

Рассмотрим прямую $CB_1$. Она проходит через точки $C(1,1,0)$ и $B_1(1,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $CB_1$: $\vec{v_2} = \vec{B_1C} = C - B_1 = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$.

Возьмем точку $P_2 = C = (1,1,0)$ на прямой $CB_1$.

Вектор, соединяющий точки на двух прямых: $\vec{P_1P_2} = \vec{BC} = C - B = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$, определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$

$= \mathbf{i}(0 + 1) - \mathbf{j}(-1 - 0) + \mathbf{k}(1 - 0) = (1, 1, 1)$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (числитель формулы):

$(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (0, 1, 0) \cdot (1, 1, 1) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1$.

Вычислим модуль векторного произведения $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (знаменатель формулы):

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \|(1, 1, 1)\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.