Номер 38, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCD EFA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AEF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1.

Перевод в систему СИ: Данные представлены в безразмерных единицах (условных единицах длины), поэтому перевод в систему СИ не требуется. Длина стороны основания $a = 1$ (у.е.), высота призмы $H = 1$ (у.е.).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AEF_1$.

Решение

1. Выберем систему координат.
Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.
Поскольку призма правильная, и все её рёбра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $H=1$.
Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0,0)$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (1 \cdot (-\frac{1}{2}), 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты вершины $F_1$ верхнего основания (с $z$-координатой $H=1$):
$F_1 = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 1) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

2. Найдем уравнение плоскости $AEF_1$.
Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D' = 0$.
Подставим координаты точек $A(1,0,0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ в уравнение плоскости:
Для точки $A(1,0,0)$: $A(1) + B(0) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow A + D' = 0 \Rightarrow A = -D'$.
Для точки $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$: $A(-\frac{1}{2}) + B(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + D' = 0$.
Подставим $A = -D'$: $-\frac{1}{2}(-D') - \frac{\sqrt{3}}{2}B + D' = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}D' - \frac{\sqrt{3}}{2}B + D' = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}D' - \frac{\sqrt{3}}{2}B = 0$.
Умножим на 2: $3D' - \sqrt{3}B = 0 \Rightarrow \sqrt{3}B = 3D' \Rightarrow B = \frac{3}{\sqrt{3}}D' = \sqrt{3}D'$.
Для точки $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$: $A(\frac{1}{2}) + B(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + C(1) + D' = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + C + D' = 0$.
Подставим $A = -D'$ и $B = \sqrt{3}D'$: $\frac{1}{2}(-D') - \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}D') + C + D' = 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}D' - \frac{3}{2}D' + C + D' = 0 \Rightarrow -2D' + C + D' = 0 \Rightarrow -D' + C = 0 \Rightarrow C = D'$.
Таким образом, коэффициенты плоскости выражаются через $D'$: $A = -D'$, $B = \sqrt{3}D'$, $C = D'$.
Выберем $D'=1$ для простоты. Тогда $A=-1, B=\sqrt{3}, C=1$.
Уравнение плоскости $AEF_1$: $-x + \sqrt{3}y + z + 1 = 0$.

3. Вычислим расстояние от точки $B$ до плоскости $AEF_1$.
Точка $B$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Подставим координаты точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и коэффициенты плоскости $A=-1, B=\sqrt{3}, C=1, D=1$:
$d = \frac{|(-1)(\frac{1}{2}) + (\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1)(0) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + (1)^2}}$
$d = \frac{|-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 1}}$
$d = \frac{|\frac{2}{2} + 1|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{|1 + 1|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Для рационализации знаменателя, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$d = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$