Номер 4, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

мыми $BA_1$ и $CD_1$;

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC$.

5. В

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат.

1. Введение системы координат:

Поместим начало координат в точку $A$. Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра $a=1$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$.

2. Определение векторов для прямых:

Прямая $BA_1$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $A_1(0,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Прямая $AC$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $C(1,1,0)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

3. Вычисление смешанного произведения:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а другая через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Выберем точку $P_1$ на прямой $BA_1$ как $A_1(0,0,1)$ и точку $P_2$ на прямой $AC$ как $A(0,0,0)$.

Вектор, соединяющий эти точки: $\vec{P_1P_2} = \vec{A_1A} = A - A_1 = (0-0, 0-0, 0-1) = (0,0,-1)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-1, 0, 1) \times (1, 1, 0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$= \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(0-1) + \mathbf{k}(-1-0) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-1, 1, -1)$.

Вычислим модуль полученного векторного произведения:

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \|(-1, 1, -1)\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (числитель формулы):

$(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (0, 0, -1) \cdot (-1, 1, -1) = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

4. Расчет расстояния:

Подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.