Номер 8, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение:

Поместим куб в декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $A$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (1,1,1)$

$D_1 = (0,1,1)$

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу расстояния между прямыми, заданными точкой и направляющим вектором.

Прямая $BA_1$ проходит через точку $B(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Прямая $DB_1$ проходит через точку $D(0,1,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}((0)(1) - (1)(-1)) - \vec{j}((-1)(1) - (1)(1)) + \vec{k}((-1)(-1) - (0)(1))$

$= \vec{i}(0 + 1) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(1 - 0)$

$= (1, 2, 1)$

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Затем найдем вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$. Пусть $P_1 = B = (1,0,0)$ и $P_2 = D = (0,1,0)$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = D - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

Теперь вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на векторное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2})$):

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1)(1) + (1)(2) + (0)(1) = -1 + 2 + 0 = 1$

Подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.