Страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение:

Поместим куб в декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $A$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (1,1,1)$

$D_1 = (0,1,1)$

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу расстояния между прямыми, заданными точкой и направляющим вектором.

Прямая $BA_1$ проходит через точку $B(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Прямая $DB_1$ проходит через точку $D(0,1,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}((0)(1) - (1)(-1)) - \vec{j}((-1)(1) - (1)(1)) + \vec{k}((-1)(-1) - (0)(1))$

$= \vec{i}(0 + 1) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(1 - 0)$

$= (1, 2, 1)$

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Затем найдем вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$. Пусть $P_1 = B = (1,0,0)$ и $P_2 = D = (0,1,0)$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = D - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

Теперь вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на векторное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2})$):

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1)(1) + (1)(2) + (0)(1) = -1 + 2 + 0 = 1$

Подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

9. В единичном тетраэдре $ABCD$ найдите расстояние между прямыми $AD$ и $BC$.

Дано: Единичный тетраэдр $ABCD$. Единичный тетраэдр означает, что все его ребра имеют длину $a=1$.

Найти: Расстояние между прямыми $AD$ и $BC$.

Решение:

Будем использовать координатный метод для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
Разместим тетраэдр $ABCD$ в декартовой системе координат.Пусть вершина $D$ находится в начале координат: $D=(0,0,0)$.
Пусть вершина $A$ лежит на оси $x$: $A=(1,0,0)$, так как длина ребра $a=1$.
Координаты вершин $B$ и $C$ правильного тетраэдра со стороной 1:$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C=(1/2, \sqrt{3}/6, \sqrt{6}/3)$

Прямая $AD$ проходит через точки $D=(0,0,0)$ и $A=(1,0,0)$.Вектор направления прямой $AD$: $\vec{v}_{AD} = \vec{A} - \vec{D} = (1,0,0)$.Точка на прямой $AD$: $P_1 = D = (0,0,0)$.

Прямая $BC$ проходит через точки $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $C=(1/2, \sqrt{3}/6, \sqrt{6}/3)$.Вектор направления прямой $BC$: $\vec{v}_{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1/2-1/2, \sqrt{3}/6-\sqrt{3}/2, \sqrt{6}/3-0)$.$\vec{v}_{BC} = (0, \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}) = (0, \frac{-2\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}) = (0, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.Для упрощения расчетов можно использовать пропорциональный вектор $\vec{v}_{BC}' = (0, -1, \sqrt{2})$.Точка на прямой $BC$: $P_2 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = \vec{B} - \vec{D} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'))|}{||\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'$:$\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}' = (1,0,0) \times (0,-1,\sqrt{2}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \sqrt{2} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \sqrt{2} - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot \sqrt{2} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)$
$= (0)\mathbf{i} - (\sqrt{2})\mathbf{j} + (-1)\mathbf{k} = (0, -\sqrt{2}, -1)$.

Вычислим модуль векторного произведения:$||\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'|| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 2 + 1} = \sqrt{3}$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}')$:$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}') = (1/2)(0) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{2}) + (0)(-1)$
$= 0 - \frac{\sqrt{6}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:$d = \frac{|-\sqrt{6}/2|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Альтернативный метод (геометрический):
В правильном тетраэдре кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися ребрами (такими как $AD$ и $BC$) - это длина отрезка, соединяющего их середины. Этот отрезок является общим перпендикуляром к этим ребрам.
Для правильного тетраэдра со стороной $a$, расстояние между противоположными ребрами (такими как $AD$ и $BC$) вычисляется по формуле:$d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Так как тетраэдр единичный, длина его ребра $a=1$.Следовательно, расстояние $d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Решение:

Обозначим длину любого ребра пирамиды как $a=1$. Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a=1$. Вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Диагональ основания $AC$ квадрата $ABCD$ равна $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Точка $O$ является центром квадрата, поэтому она является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Значит, $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим треугольник $SOB$. Поскольку $SO$ — это высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а значит, и отрезку $OB$, лежащему в этой плоскости. Следовательно, треугольник $SOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора для $\triangle SOB$: $SO^2 + OB^2 = SB^2$. Мы знаем $SB = 1$ (боковое ребро) и $OB = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Вычислим высоту $SO$: $SO^2 = SB^2 - OB^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь определим взаимное расположение прямых $SB$ и $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Это означает, что $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $AC$. То есть, $SO \perp AC$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, которые лежат в плоскости $SBD$. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $SBD$.

Поскольку $AC \perp \text{плоскости } SBD$, то $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $SBD$. Прямая $SB$ лежит в плоскости $SBD$. Значит, $AC \perp SB$. Так как прямые $AC$ и $SB$ являются скрещивающимися и взаимно перпендикулярными, расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Точка $O$ лежит на прямой $AC$. Мы можем найти расстояние от точки $O$ до прямой $SB$. Поскольку $AC \perp \text{плоскости } SBD$, любой перпендикуляр, опущенный из точки $O$ (лежащей на $AC$) на прямую $SB$ (лежащую в плоскости $SBD$), будет перпендикулярен также и прямой $AC$. Таким образом, этот перпендикуляр и будет общим перпендикуляром между $AC$ и $SB$. Пусть $OK$ — это высота, опущенная из вершины $O$ на гипотенузу $SB$ в прямоугольном треугольнике $SOB$. Длина $OK$ и будет искомым расстоянием.

В прямоугольном треугольнике $SOB$: Катеты: $SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $OB = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза: $SB = 1$. Площадь треугольника $SOB$ можно выразить как половину произведения катетов: $S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Также площадь треугольника можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot OK$. Приравнивая два выражения для площади: $\frac{1}{2} \cdot SB \cdot OK = \frac{1}{4}$ $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot OK = \frac{1}{4}$ $OK = \frac{1}{2}$.

Ответ:

$0.5$

11. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1. То есть, $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины, т.к. задача не указывает конкретные единицы измерения).

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AD$.

Решение:

1. Установим систему координат.

Поместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0,0,0)$. Основание $ABCD$ лежит в плоскости $xy$.

Так как пирамида правильная и все её ребра равны 1, основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно половине диагонали: $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $SOB$ (где $SB$ - гипотенуза):

$SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершин:

Вершина $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вершины основания $ABCD$ можно расположить в плоскости $xy$ следующим образом:

$A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

Проверим, например, длину стороны $AB$: $AB = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})\right)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$. Координаты выбраны верно.

2. Определим векторы и точки для прямых $SB$ и $AD$.

Для прямой $AD$:

Точка на прямой $P_1 = A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$.

Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AD} = D - A = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), 0 - 0\right) = (-1, 0, 0)$. Для удобства можно использовать пропорциональный ему вектор $\vec{u} = (1, 0, 0)$.

Для прямой $SB$:

Точка на прямой $P_2 = S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Для удобства можно использовать пропорциональный ему вектор $\vec{v} = (1, 1, -\sqrt{2})$ (умножив на 2).

3. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми по формуле.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Вектор $\vec{P_1 P_2} = \vec{AS} = S - A = \left(0 - \frac{1}{2}, 0 - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = (1, 0, 0) \times (1, 1, -\sqrt{2}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -\sqrt{2} \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-\sqrt{2}) - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-\sqrt{2}) - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (0, \sqrt{2}, 1)$.

Смешанное произведение $(\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))$ (числитель формулы):

$(\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$ (знаменатель формулы):

$|\vec{u} \times \vec{v}| = |(0, \sqrt{2}, 1)| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 2 + 1} = \sqrt{3}$.

Расстояние $d$:

$d = \frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1.

Обозначим длину ребра за $a = 1$.

Перевод в СИ

Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты производятся в относительных единицах.

Найти

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CD$ воспользуемся методом координат.

1. Установим систему координат. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом, а вершина $S$ проецируется в центр основания. Пусть центр основания $O$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Длина стороны основания $AB = a = 1$. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до вершины основания $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Высота пирамиды $SO = h$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $SA$ - боковое ребро): $h^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определим координаты вершин пирамиды. Примем оси $Ox$ и $Oy$ параллельными сторонам квадрата $ABCD$. Координаты вершин основания: $A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ Координаты вершины пирамиды: $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

3. Определим направляющие векторы прямых $SB$ и $CD$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых. Для прямой $SB$ возьмем точку $P_1 = S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Для прямой $CD$ возьмем точку $P_2 = C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD} = D - C = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0\right) = (-1, 0, 0)$.

Вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой: $\vec{P_1P_2} = \vec{SC} = C - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

4. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми по формуле: $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $$ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left((-\frac{1}{2})(0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})(0)\right) - \mathbf{j}\left((\frac{1}{2})(0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})(-1)\right) + \mathbf{k}\left((\frac{1}{2})(0) - (-\frac{1}{2})(-1)\right) $$ $$ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}\left(0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \mathbf{k}\left(0 - \frac{1}{2}\right) = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}\right) $$

Теперь найдем модуль этого векторного произведения: $$ ||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Затем найдем смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$: $$ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)(0) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ = 0 + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Наконец, вычислим расстояние: $$ d = \frac{\left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

13. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Решение:

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $Oz$.
Сторона правильного шестиугольника равна расстоянию от его центра до любой вершины, то есть $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.
Высота пирамиды $h$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, радиусом описанной окружности основания и высотой. Например, в $\triangle SOA$: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.
$h^2 + a^2 = l^2$
$h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 + 1 = 4$
$h^2 = 3$
$h = \sqrt{3}$.
Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

Разместим вершины основания. Пусть вершина $A$ лежит на положительной оси $Ox$.
Тогда координаты вершин основания будут:
$A = (a \cos(0^\circ), a \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (a \cos(-60^\circ), a \sin(-60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем векторы направлений для прямых $SB$ и $AF$:
Вектор направления прямой $SB$: $\vec{v}_{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.
Вектор направления прямой $AF$: $\vec{v}_{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу:
$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2))|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$,
где $P_1$ - точка на первой прямой, $P_2$ - точка на второй прямой, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ - векторы направлений прямых.

Возьмем точку $P_1 = S = (0, 0, \sqrt{3})$ на прямой $SB$.
Возьмем точку $P_2 = A = (1, 0, 0)$ на прямой $AF$.
Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{SA} = A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = \vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{AF}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-1/2)) + \mathbf{k} ((1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2))$
$\vec{n} = \mathbf{i} (0 - 3/2) - \mathbf{j} (0 - \sqrt{3}/2) + \mathbf{k} (-\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$
$\vec{n} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{n}$:
$|\vec{n}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{n}$:
$\vec{P_1P_2} = (1, 0, -\sqrt{3})$
$\vec{n} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{P_1P_2} \cdot \vec{n} = (1) \cdot (-3/2) + (0) \cdot (\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = -3/2 + 0 + 0 = -3/2$.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$d = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $EF$.

Дано

правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$

сторона основания $a = 1$

боковые ребра $l = 2$

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в безразмерных единицах, которые могут быть интерпретированы как единицы длины. Дополнительный перевод не требуется.

Найти

Расстояние между прямыми $SB$ и $EF$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр основания пирамиды в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ будет лежать на оси $z$.

1.Определение координат вершин основания и вершины пирамиды.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра основания до любой вершины равно $a=1$. Координаты вершин основания: $A = (a, 0, 0) = (1, 0, 0)$ $B = (a \cos(\pi/3), a \sin(\pi/3), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $C = (a \cos(2\pi/3), a \sin(2\pi/3), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $D = (a \cos(\pi), a \sin(\pi), 0) = (-1, 0, 0)$ $E = (a \cos(4\pi/3), a \sin(4\pi/3), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $F = (a \cos(5\pi/3), a \sin(5\pi/3), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота пирамиды $H$ находится из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $S$, центром основания $O$ и одной из вершин основания, например $B$. В $\triangle SOB$: $SB^2 = SO^2 + OB^2$. $l^2 = H^2 + a^2$ $2^2 = H^2 + 1^2$ $4 = H^2 + 1$ $H^2 = 3 \Rightarrow H = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Суммируя координаты используемых точек:

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2.Нахождение направляющих векторов прямых $SB$ и $EF$.

Вектор $\vec{v_{SB}} = \vec{B} - \vec{S} = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{v_{EF}} = \vec{F} - \vec{E} = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

3.Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{n} = \vec{v_{SB}} \times \vec{v_{EF}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 0) - \mathbf{j}((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 1) + \mathbf{k}((1/2) \cdot 0 - (\sqrt{3}/2) \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(\sqrt{3}) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2) = (0, -\sqrt{3}, -\sqrt{3}/2)$

Вычислим модуль вектора $\vec{n}$:

$||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 3 + 3/4} = \sqrt{12/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Возьмем произвольную точку на прямой $SB$, например $S(0, 0, \sqrt{3})$, и произвольную точку на прямой $EF$, например $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Составим вектор $\vec{SE} = \vec{E} - \vec{S} = (-1/2 - 0, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{SE}$ на вектор $\vec{n}$:

$\vec{SE} \cdot \vec{n} = (-1/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)$

$\vec{SE} \cdot \vec{n} = 0 + 3/2 + 3/2 = 3$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{6 \sqrt{15}}{15} = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Ответ

Расстояние между прямыми $SB$ и $EF$ равно $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$.

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ $a = 1$.

Боковые ребра пирамиды $l = 2$.

Перевод в СИ: Поскольку величины заданы без единиц измерения, будем считать их безразмерными.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Решение:

1. Определим координаты вершин пирамиды. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$.

Поскольку основание - правильный шестиугольник со стороной $a=1$, радиус описанной окружности также равен $1$. Координаты вершин основания (например, располагая вершину $A$ на оси $Ox$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

2. Найдем высоту пирамиды $h = SO$. В правильной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$.

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем направляющие векторы прямых $SB$ и $CD$.

Вектор $\vec{d_1} = \vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{d_2} = \vec{CD} = D - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

4. Найдем вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой. Возьмем точку $B$ на прямой $SB$ и точку $C$ на прямой $CD$.

Вектор $\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

5. Вычислим смешанное произведение векторов. Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}((1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(0 - 3/2) - \mathbf{j}(0 - \sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$

$= (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Далее вычислим скалярное произведение вектора $\vec{BC}$ с векторным произведением:

$\vec{BC} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = (-1, 0, 0) \cdot (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$= (-1) \cdot (-3/2) + 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + 0 \cdot 0 = 3/2$.

6. Подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $DE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = AB = 1$.

Длина бокового ребра $l = SB = 2$.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DE$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат.

Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $z$. Высота пирамиды $h = SO$.

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $R = OA = OB = \dots = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOB$ (где $O$ - центр основания, $B$ - вершина основания, $S$ - вершина пирамиды). По теореме Пифагора:

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ будут $(0, 0, \sqrt{3})$.

Координаты вершин основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в начале координат и вершиной $A$ на положительной оси $x$:

$A = (1, 0, 0)$, $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$, $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Для дальнейших расчетов нам нужны координаты точек $S$, $B$, $D$, $E$:

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем направляющие векторы прямых $SB$ и $DE$.

Вектор $\vec{v}_{SB} = \vec{B} - \vec{S} = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{v}_{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ($\vec{r}_1$, $\vec{v}_1$) и ($\vec{r}_2$, $\vec{v}_2$), вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

Возьмем $\vec{r}_1 = \vec{S} = (0, 0, \sqrt{3})$ и $\vec{r}_2 = \vec{D} = (-1, 0, 0)$.

Сначала найдем векторное произведение $\vec{n} = \vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DE}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$ = \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (1/2)) + \mathbf{k} ((1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (1/2))$

$ = \mathbf{i} (0 - 3/2) - \mathbf{j} (0 + \sqrt{3}/2) + \mathbf{k} (-\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4)$

$ = (-3/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2}$

$ = \sqrt{9/4 + 3/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Теперь найдем вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой $(\vec{r}_2 - \vec{r}_1) = \vec{D} - \vec{S}$:

$\vec{D} - \vec{S} = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$

Вычислим скалярное произведение $(\vec{D} - \vec{S}) \cdot \vec{n}$:

$(-1, 0, -\sqrt{3}) \cdot (-3/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$

$ = (-1)(-3/2) + (0)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}/2)$

$ = 3/2 + 0 + 3/2 = 6/2 = 3$

Теперь подставим все значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$d = \frac{6 \sqrt{15}}{15} = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DE$ равно $\frac{2\sqrt{15}}{5}$.

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEDF:

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод в СИ

Сторона основания $a = 1$ м.

Боковое ребро $l = 2$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми SB и AC.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми SB и AC воспользуемся методом координат. Поместим центр основания правильной шестиугольной пирамиды (точку O) в начало координат $(0, 0, 0)$. Ось X направим вдоль радиуса OA.

1. Координаты вершин основания: Поскольку пирамида правильная, в основании лежит правильный шестиугольник. Радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. $R = a = 1$. Вершины правильного шестиугольника: $A = (1, 0, 0)$ $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

2. Координаты вершины пирамиды S: Высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOB$. $OB = R = 1$. $SB = l = 2$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OB^2 = SB^2$. $SO^2 + 1^2 = 2^2$ $SO^2 = 4 - 1 = 3$ $SO = \sqrt{3}$ Таким образом, координаты вершины S: $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Определение векторов для прямых SB и AC: Прямая SB проходит через точки S и B. Вектор направления $\vec{v}_{SB}$: $\vec{v}_{SB} = \vec{B} - \vec{S} = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$ Прямая AC проходит через точки A и C. Вектор направления $\vec{v}_{AC}$: $\vec{v}_{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

4. Вектор, соединяющий точки на прямых: Возьмем точку $P_1 = S(0, 0, \sqrt{3})$ на прямой SB и точку $P_2 = A(1, 0, 0)$ на прямой AC. Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{SA}$: $\vec{SA} = \vec{A} - \vec{S} = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$

5. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми: Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$, $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, определяется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$ Сначала найдем векторное произведение $\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{AC}$: $\vec{n} = \vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$ $\vec{n} = \mathbf{i} ((\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((\frac{1}{2}) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k} ((\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}))$ $\vec{n} = \mathbf{i} (0 + \frac{3}{2}) - \mathbf{j} (0 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) + \mathbf{k} (\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4})$ $\vec{n} = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{4\sqrt{3}}{4}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$

Найдем модуль вектора $\vec{n}$: $||\vec{n}|| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (\sqrt{3})^2}$ $||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4} + 3}$ $||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{12}{4}}$ $||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{48}{4}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Найдем скалярное произведение $(\vec{SA}) \cdot \vec{n}$: $(\vec{SA}) \cdot \vec{n} = (1, 0, -\sqrt{3}) \cdot (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$ $(\vec{SA}) \cdot \vec{n} = 1 \cdot (\frac{3}{2}) + 0 \cdot (\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3})$ $(\vec{SA}) \cdot \vec{n} = \frac{3}{2} + 0 - 3 = \frac{3}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{3}{2}$

Теперь вычислим расстояние $d$: $d = \frac{|-\frac{3}{2}|}{2\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}}$ Рационализируем знаменатель: $d = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Расстояние между прямыми SB и AC равно $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

18. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $DF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$ (единица длины).

Боковое ребро $l = 2$ (единицы длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DF$.

Решение:

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат.

Разместим центр основания шестиугольной пирамиды в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $Oz$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$.

Определим координаты вершин основания. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$.

$A = (1, 0, 0)$

$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$, где $OB$ - радиус описанной окружности (равный стороне основания $a=1$), а $SB$ - боковое ребро $l=2$.

По теореме Пифагора: $h^2 = l^2 - a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Следовательно, $h = \sqrt{3}$.

Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь определим векторы направлений для прямых $SB$ и $DF$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Прямая $SB$ проходит через $S(0,0,\sqrt{3})$ и $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор направления $\vec{v}_{SB} = \vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Прямая $DF$ проходит через $D(-1,0,0)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор направления $\vec{v}_{DF} = \vec{DF} = F - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точку на прямой $SB$ (например, $S$) и точку на прямой $DF$ (например, $D$):

$\vec{SD} = D - S = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{SD} \cdot (\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}))|}{||\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}||}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}$:

$\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{3}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2})$

$= \mathbf{i}(0 - \frac{3}{2}) - \mathbf{j}(0 - (-\frac{3\sqrt{3}}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4})$

$= (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{4\sqrt{3}}{4})$

$= (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4} + 3}$

$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{12}{4}}$

$= \sqrt{\frac{9 + 27 + 12}{4}} = \sqrt{\frac{48}{4}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Найдем смешанное произведение (скалярное произведение $\vec{SD}$ на векторное произведение):

$\vec{SD} \cdot (\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}) = (-1, 0, -\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

$= (-1) \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot (-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})$

$= \frac{3}{2} + 0 + 3 = \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9}{2}$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{9}{2}|}{2\sqrt{3}} = \frac{9/2}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{9\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{9\sqrt{3}}{12} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Заметим, что скалярное произведение $\vec{v}_{SB} \cdot \vec{v}_{DF} = (1/2)(3/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(0) = 3/4 - 3/4 + 0 = 0$. Это означает, что прямые $SB$ и $DF$ перпендикулярны.

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DF$ равно $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

19. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = AB = 1$.
Боковое ребро $l = SB = 2$.

Перевод в СИ:

Поскольку в условии не указаны единицы измерения, данные значения принимаются как безразмерные или в произвольных единицах, не требующих перевода в СИ.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$.

Решение:

1. Установим систему координат. Пусть центр основания шестиугольной пирамиды, точка $O$, находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$, ось $Oy$ - перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, ось $Oz$ - вверх вдоль высоты пирамиды.

2. Определим координаты вершин основания. Поскольку основание - правильный шестиугольник со стороной $a=1$, расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника.
Координаты вершин:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

3. Найдем координаты вершины $S$. Вершина $S$ находится на оси $Oz$. Найдем высоту пирамиды $H=SO$. В прямоугольном треугольнике $SOB$: $SB^2 = SO^2 + OB^2$.
$l^2 = H^2 + a^2$
$2^2 = H^2 + 1^2$
$4 = H^2 + 1$
$H^2 = 3$
$H = \sqrt{3}$
Таким образом, $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

4. Определим направляющие векторы и точки на прямых $SB$ и $AE$.
Для прямой $AE$: Возьмем точку $P_1 = A = (1,0,0)$.
Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Для прямой $SB$: Возьмем точку $P_2 = S = (0,0,\sqrt{3})$.
Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

5. Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:
$\vec{P_2} - \vec{P_1} = S - A = (0 - 1, 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (-1, 0, \sqrt{3})$.

6. Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u} \times \vec{v}$:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{3}{2})(-\sqrt{3}) - 0 \cdot \frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) \right)$
$= \mathbf{i} \left( \frac{3}{2} - 0 \right) - \mathbf{j} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0 \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$
$= (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4})$
$= (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

7. Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4} + \frac{3}{4}}$
$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{3}{4}}$
$= \sqrt{\frac{9+27+3}{4}}$
$= \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

8. Вычислим смешанное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:
$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1)(\frac{3}{2}) + (0)(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (\sqrt{3})(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= -\frac{3}{2} + 0 - \frac{3}{2}$
$= -\frac{6}{2} = -3$

9. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:
$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$
$d = \frac{|-3|}{\frac{\sqrt{39}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{39}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$ равно $ \frac{2\sqrt{39}}{13} $.

20. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $CE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

В данной задаче используются безразмерные единицы длины. Перевод в систему СИ не требуется, так как ответ будет также в безразмерных единицах.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CE$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CE$ используем метод координат.

Поместим центр основания шестиугольной пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0, 0, 0)$. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$.

В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности, т.е. расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно $a=1$.

Найдем высоту пирамиды $h$. Вершина $S$ находится на оси $Oz$.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $SA$, высотой пирамиды $SO$ и отрезком $OA$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.$h^2 + a^2 = l^2$$h^2 + 1^2 = 2^2$$h^2 + 1 = 4$$h^2 = 3$$h = \sqrt{3}$Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь определим координаты вершин основания. Расположим их таким образом, чтобы ось $Ox$ проходила через вершину $A$.$A = (1, 0, 0)$Тогда координаты остальных вершин правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной 1 будут:$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CE$, нам нужны:1. Точка на первой прямой ($M_1$) и ее направляющий вектор ($\vec{u_1}$).2. Точка на второй прямой ($M_2$) и ее направляющий вектор ($\vec{u_2}$).

Выберем точку $S$ как $M_1$ и точку $C$ как $M_2$.$M_1 = S = (0, 0, \sqrt{3})$$M_2 = C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем направляющий вектор прямой $SB$:$\vec{u_1} = \vec{SB} = B - S = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

Найдем направляющий вектор прямой $CE$:$\vec{u_2} = \vec{CE} = E - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

Вектор, соединяющий точки на прямых:$\vec{M_1M_2} = \vec{SC} = C - S = (-\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix}$$= \vec{i} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) \right) - \vec{j} \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 0 \right) + \vec{k} \left( \frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 \right)$$= \vec{i}(0 - 3) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$$= (-3, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль этого векторного произведения:$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9 + 0 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

Теперь вычислим смешанное произведение $\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}) \cdot (-3, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$$= (-\frac{1}{2}) \cdot (-3) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$= \frac{3}{2} + 0 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Подставим полученные значения в формулу для расстояния $d$:$d = \frac{|3|}{\frac{\sqrt{39}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$:$d = \frac{6\sqrt{39}}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39}$

Сократим дробь на 3:$d = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$

21. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача безразмерная или все величины в условных единицах.

Найти:

Расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $CC_1$ и $AB$ воспользуемся тем фактом, что прямая $CC_1$ является боковым ребром правильной призмы. Это означает, что $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$.

Если одна прямая ($CC_1$) перпендикулярна плоскости, а другая прямая ($AB$) лежит в этой плоскости, то эти две прямые ортогональны (перпендикулярны друг другу). Таким образом, прямые $CC_1$ и $AB$ являются скрещивающимися и взаимно перпендикулярными.

Расстояние между двумя скрещивающимися и взаимно перпендикулярными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой.

Рассмотрим основание призмы - равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 1$.

Найдем расстояние от вершины $C$ (точки, лежащей на прямой $CC_1$) до прямой $AB$. Это расстояние будет являться высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Тогда $CM$ - высота равностороннего треугольника $ABC$.

В равностороннем треугольнике со стороной $a$ высота $h$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 1$, поэтому длина высоты $CM$ равна $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проверим, является ли $CM$ общим перпендикуляром к прямым $CC_1$ и $AB$.

• По построению, $CM \perp AB$, так как $CM$ - высота в равностороннем треугольнике.

• Прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а отрезок $CM$ лежит в плоскости $ABC$. Следовательно, $CC_1 \perp CM$.

Так как $CM$ перпендикулярен обеим прямым $CC_1$ и $AB$, и соединяет их, то $CM$ является общим перпендикуляром, и его длина есть искомое расстояние.

Ответ:

Расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

22. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC$.

Решение:

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной треугольной, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а основания представляют собой равносторонние треугольники. По условию, длина всех рёбер призмы равна $1$.

Прямая $BB_1$ — это боковое ребро призмы, которое перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости этого основания $ABC$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AC$ равно расстоянию от точки $B$ (точки пересечения прямой $BB_1$ с плоскостью $ABC$) до прямой $AC$, лежащей в этой же плоскости.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 1$. Расстояние от вершины $B$ до стороны $AC$ — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. Пусть $M$ — основание этой высоты на стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому $M$ — середина $AC$.

Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя значение $a=1$, получаем длину отрезка $BM$:

$BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отрезок $BM$ перпендикулярен прямой $AC$ по определению высоты. Поскольку прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, отрезку $BM$. Таким образом, отрезок $BM$ является общим перпендикуляром к прямым $BB_1$ и $AC$. Его длина и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

23. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$.

Решение:

1. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ основанием является равносторонний треугольник $ABC$, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны плоскостям оснований.

2. Нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC$. Расстояние между скрещивающимися прямыми - это длина их общего перпендикуляра.

3. Рассмотрим плоскость основания $ABC$. Прямая $AA_1$ перпендикулярна этой плоскости.

4. В равностороннем треугольнике $ABC$ проведем медиану $AM$ к стороне $BC$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, медиана $AM$ также является высотой. Следовательно, $AM \perp BC$.

5. Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $AM$. То есть, $AA_1 \perp AM$.

6. Таким образом, отрезок $AM$ перпендикулярен обеим прямым: $BC$ (так как $AM$ - высота в равностороннем треугольнике) и $AA_1$ (так как $AM$ лежит в плоскости основания, а $AA_1$ перпендикулярна этой плоскости). Следовательно, $AM$ является общим перпендикуляром для прямых $AA_1$ и $BC$.

7. Длина $AM$ - это высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$. Формула для высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ выглядит так: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

8. Подставим значение $a=1$ в формулу: $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

24. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AC_1$ воспользуемся свойством, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

1. Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы.

2. Рассмотрим плоскость $ACC_1A_1$. Эта плоскость является боковой гранью призмы.

3. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$, а прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Отсюда следует, что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1A_1$.

4. Прямая $AC_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$.

5. Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AC_1$ равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ до плоскости $ACC_1A_1$. Выберем точку $B$ на прямой $BB_1$.

6. Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$ - это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $ACC_1A_1$. Поскольку плоскость $ACC_1A_1$ содержит ребро $AC$ основания $ABC$, и призма правильная, то этот перпендикуляр будет являться высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

7. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как призма правильная, и все его стороны равны 1 (так как все ребра призмы равны 1).

8. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

9. В нашем случае $a=1$, поэтому высота $h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$