Страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Перевод в СИ:

Длина всех рёбер $a=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AF_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AF_1$ воспользуемся методом координат. Разместим начало координат $O$ в центре основания $ABCDEF$. Так как призма правильная и все её рёбра равны $1$, то сторона основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат можно задать следующим образом. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершин основания $ABCDEF$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x, y$ координаты, но $z$ координата будет равна высоте призмы, то есть $1$.

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Определим точку и направляющий вектор для каждой прямой:

Прямая $BB_1$:

Точка на прямой $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Прямая $AF_1$:

Точка на прямой $P_2 = A = (1, 0, 0)$

Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AF_1} = F_1 - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

1. Найдем вектор $\vec{P_1P_2}$:

$\vec{P_1P_2} = \vec{BA} = A - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2. Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, 0, 1) \times (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$= (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 1 \cdot (-1/2) - 0 \cdot 1, 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$= (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

3. Найдем смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

$= (1/2)(\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(-1/2) + (0)(0)$

$= \sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 + 0$

$= 2\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$

4. Найдем модуль векторного произведения (знаменатель формулы):

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \|(\sqrt{3}/2, -1/2, 0)\|$

$= \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2}$

$= \sqrt{3/4 + 1/4 + 0}$

$= \sqrt{4/4} = \sqrt{1} = 1$

5. Вычислим расстояние:

$d = \frac{|\sqrt{3}/2|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$. Это означает, что сторона основания $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FA_1$ воспользуемся методом координат.Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и длина всех ее ребер равна $1$, то сторона шестиугольного основания $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Определим координаты необходимых вершин:

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):
Вершина $A$ расположена на оси $x$ на расстоянии $a=1$ от начала координат, поэтому $A = (1, 0, 0)$.
Вершина $B$ находится под углом $60^\circ$ к оси $x$: $B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Вершина $F$ находится под углом $-60^\circ$ к оси $x$: $F = (a \cdot \cos(-60^\circ), a \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$, так как $h=1$):
Вершина $A_1$ получается из $A$ подъемом на высоту $h$: $A_1 = (1, 0, 1)$.
Вершина $B_1$ получается из $B$ подъемом на высоту $h$: $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Эта прямая является вертикальной, параллельной оси $z$.

Прямая $FA_1$ проходит через точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Поскольку прямая $BB_1$ является вертикальной (перпендикулярной плоскости $xy$), расстояние между ней и скрещивающейся с ней прямой $FA_1$ можно найти как расстояние от проекции прямой $BB_1$ на плоскость $xy$ (точки $B$) до проекции прямой $FA_1$ на плоскость $xy$ (линии $FA$).

Найдем уравнение прямой $FA$ в плоскости $xy$. Точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $A(1, 0)$.

Угловой коэффициент $k$ прямой $FA$:
$k = \frac{y_A - y_F}{x_A - x_F} = \frac{0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Уравнение прямой $FA$ в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$, используя точку $A(1,0)$:$y - 0 = \sqrt{3}(x - 1)$
$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$
Перепишем уравнение в общий вид $Ax + By + C = 0$:
$\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$.Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Здесь $A=\sqrt{3}$, $B=-1$, $C=-\sqrt{3}$. Координаты точки $B$ - $x_0 = \frac{1}{2}$, $y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$
$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $CE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CE_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $CE_1$ воспользуемся координатным методом.

Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центрированного в начале координат, если вершина $A$ расположена на оси $Ox$:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она проходит через точку $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{u} = \vec{B_1} - \vec{B} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Рассмотрим прямую $CE_1$. Она проходит через точку $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v} = \vec{E_1} - \vec{C} = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ соответственно, используется формула:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{||\vec{u} \times \vec{v}||}$

В нашем случае:

$P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$P_2 = C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{u} = (0,0,1)$

$\vec{v} = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = (\sqrt{3}, 0, 0)$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1, 0, 0) \cdot (\sqrt{3}, 0, 0) = (-1)(\sqrt{3}) + (0)(0) + (0)(0) = -\sqrt{3}$.

Вычислим модуль вектора $\vec{u} \times \vec{v}$:

$||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||(\sqrt{3}, 0, 0)|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим отрезок $BC$. Он является ребром основания. Его длина равна 1.

Поскольку прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе отрезку $BC$. Значит, $BC \perp BB_1$.

Найдем вектор $\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (-1, 0, 0)$.

Направляющий вектор прямой $CE_1$ равен $\vec{v} = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{BC} \cdot \vec{v}$:

$\vec{BC} \cdot \vec{v} = (-1, 0, 0) \cdot (0, -\sqrt{3}, 1) = (-1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0$.

Так как скалярное произведение равно 0, то $\vec{BC} \perp \vec{CE_1}$.

Таким образом, отрезок $BC$ перпендикулярен обеим прямым $BB_1$ и $CE_1$. Следовательно, отрезок $BC$ является общим перпендикуляром к этим скрещивающимся прямым.

Длина этого перпендикуляра и есть искомое расстояние. Длина $BC$ равна длине ребра шестиугольника, то есть 1.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CE_1$ равно 1.

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EC_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Высота призмы $h=1$, так как все ребра равны 1.

Координаты вершин нижнего основания (z-координата равна 0):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos 120^\circ, 1 \cdot \sin 120^\circ, 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos 240^\circ, 1 \cdot \sin 240^\circ, 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos 300^\circ, 1 \cdot \sin 300^\circ, 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z-координата равна 1):

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле $d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$, где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ - направляющие векторы прямых, а $M_1$ и $M_2$ - точки, принадлежащие этим прямым.

Для прямой $BB_1$: возьмем точку $M_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Направляющий вектор $\vec{u_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (0, 0, 1)$.

Для прямой $EC_1$: возьмем точку $M_2 = E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{EC_1} = C_1 - E = (-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1-0) = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй: $\vec{M_1M_2} = \vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 0) = (-\sqrt{3}, 0, 0)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:

$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, 0, 0) = (-1)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(0) + (0)(0) = \sqrt{3}$.

Теперь найдем расстояние между прямыми:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 1$.

Альтернативный метод: Поскольку прямая $BB_1$ параллельна оси Oz, мы можем найти расстояние от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости, содержащей прямую $EC_1$ и параллельной прямой $BB_1$.

Направляющий вектор прямой $BB_1$ - это $\vec{u_1} = (0,0,1)$. Направляющий вектор прямой $EC_1$ - это $\vec{u_2} = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\Pi$, содержащей $EC_1$ и параллельной $BB_1$, будет перпендикулярен обоим направляющим векторам. Таким образом, $\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = (-\sqrt{3}, 0, 0)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Подставив компоненты вектора нормали, получаем $-\sqrt{3}x + 0y + 0z + D = 0$, или $-\sqrt{3}x + D = 0$.

Плоскость $\Pi$ проходит через точку $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Подставим координаты $E$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$-\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + D = 0 \implies \frac{\sqrt{3}}{2} + D = 0 \implies D = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости $\Pi$: $-\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Делим на $-\sqrt{3}$, получаем $x + \frac{1}{2} = 0$, или $x = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на прямой $BB_1$ до плоскости $x + \frac{1}{2} = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Здесь $A=1, B=0, C=0, D=\frac{1}{2}$, и $(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$d = \frac{|1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}|}{\sqrt{1}} = \frac{|1|}{1} = 1$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 1

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод в систему СИ: Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты проводятся в относительных единицах.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DF_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $DF_1$ используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$, расположенного в плоскости $xy$, имеют следующие координаты:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы $h=1$, поэтому координаты верхних вершин будут иметь $z$-координату, равную 1:

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D = (-1, 0, 0)$ (точка на нижней грани)
• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Вектор направления прямой $BB_1$ будет $\vec{u} = B_1 - B = (0, 0, 1)$.

Прямая $DF_1$ проходит через точки $D(-1, 0, 0)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Вектор направления прямой $DF_1$ будет $\vec{v} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Возьмем точку $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на первой прямой и точку $P_2 = D = (-1, 0, 0)$ на второй прямой. Вектор $\vec{P_1P_2} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3/2) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot 3/2)$

$\vec{u} \times \vec{v} = (\sqrt{3}/2) \mathbf{i} + (3/2) \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = (\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-3/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (3/2) + 0 \cdot 0$

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = -3\sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4 = -6\sqrt{3}/4 = -3\sqrt{3}/2$.

Модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Наконец, вычислим расстояние:

$d = \frac{|-3\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DF_1$ равно $3/2$.

45. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FD_1$.

Перевод в СИ:

Данные уже приведены в безразмерных единицах, которые не требуют перевода в СИ. Длина ребра основания $a=1$. Высота призмы $h=1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FD_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (например, параллельно $AA_1$).

Координаты вершин нижнего основания (для правильного шестиугольника со стороной $a=1$):

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (с $z$-координатой, равной высоте призмы $h=1$):

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Определим направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Для прямой $BB_1$:

Направляющий вектор $\vec{u_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (0, 0, 1)$.

Точка на прямой $BB_1$: $M_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для прямой $FD_1$:

Направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{FD_1} = D_1 - F = (-1-\frac{1}{2}, 0-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Точка на прямой $FD_1$: $M_2 = F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор, соединяющий точки $M_1$ и $M_2$:

$\vec{M_1M_2} = \vec{BF} = F - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

Вычислим векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{3}{2}) + \mathbf{k}(0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.

Вычислим смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}]) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$

$= 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot 0 = 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим модуль векторного произведения (знаменатель формулы):

$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = |(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 0} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{|\frac{3\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FD_1$ равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ до плоскости, содержащей прямую $FD_1$ и параллельной прямой $BB_1$.

Такой плоскостью является вертикальная плоскость, проходящая через точки $F$ и $D$ нижнего основания, а также $F_1$ и $D_1$ верхнего основания (плоскость $FDD_1F_1$).

Поскольку прямая $BB_1$ параллельна оси $Oz$, а плоскость $FDD_1F_1$ также вертикальна (содержит вертикальный отрезок $DD_1$), то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки на $BB_1$ до этой плоскости. Выберем точку $B$ на $BB_1$. Расстояние от $B$ до плоскости $FDD_1F_1$ в этом случае равно расстоянию от $B$ до линии пересечения этой плоскости с плоскостью основания, то есть до прямой $FD$.

Координаты точек в плоскости основания: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1, 0)$.

Найдем уравнение прямой $FD$. Наклон прямой $m = \frac{0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{-1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Уравнение прямой, проходящей через $D(-1,0)$ с найденным наклоном: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$.

Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+C=0$: $3y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 9}}$

$d = \frac{|\frac{4\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{12}} = \frac{|2\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FD_1$ равно $1.5$.

46. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $EA_1$ воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, а длина ребра основания равна 1, радиус описанной окружности вокруг шестиугольника также равен 1. Высота призмы также равна 1.

Координаты вершин призмы:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Определим прямые:

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Направляющий вектор прямой $BB_1$: $\vec{u} = \vec{BB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Прямая $EA_1$ проходит через точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Направляющий вектор прямой $EA_1$: $\vec{v} = \vec{EA_1} = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Выберем точку на прямой $BB_1$, например $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Выберем точку на прямой $EA_1$, например $P_2 = E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми может быть найдено по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{||\vec{u} \times \vec{v}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3/2) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 3/2)$

$ = (-\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}/2, 3/2, 0) = (-1)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(3/2) + (0)(0)$

$ = \sqrt{3}/2 - 3\sqrt{3}/2 = -2\sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}$.

Вычислим модуль векторного произведения $||\vec{u} \times \vec{v}||$:

$||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Прямая $EA_1$ соединяет вершину $E$ нижнего основания с вершиной $A_1$ верхнего основания.

Рассмотрим отрезок $B_1A_1$. Он лежит в верхней плоскости основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Так как прямая $BB_1$ перпендикулярна этой плоскости, то отрезок $B_1A_1$ перпендикулярен прямой $BB_1$.

Теперь проверим, является ли $B_1A_1$ перпендикуляром к прямой $EA_1$.

Координаты $A_1 = (1, 0, 1)$ и $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{B_1A_1} = A_1 - B_1 = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{EA_1} = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{B_1A_1} \cdot \vec{EA_1} = (1/2)(3/2) + (-\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (0)(1)$

$ = 3/4 - 3/4 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{B_1A_1}$ и $\vec{EA_1}$ перпендикулярны. Следовательно, отрезок $B_1A_1$ является общим перпендикуляром к прямым $BB_1$ и $EA_1$.

Длина отрезка $B_1A_1$:

$|B_1A_1| = \sqrt{(1 - 1/2)^2 + (0 - \sqrt{3}/2)^2 + (1 - 1)^2}$

$ = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Ответ: 1

47. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как длины заданы в безразмерных единицах)

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AE_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AE_1$ используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания $ABCDEF$ призмы. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы (перпендикулярно основаниям), так что $O_1$ будет центром верхнего основания. Пусть ось $Ox$ проходит через вершину $A$ нижнего основания.

Поскольку призма правильная шестиугольная, и длина ребра основания $a=1$, радиус описанной окружности основания равен длине стороны, то есть $OA=1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы (длина бокового ребра) также равна 1, координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Прямая $BB_1$ проходит через точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Прямая $AE_1$ проходит через точку $P_2 = A(1, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала найдем вектор $\vec{P_1P_2}$ (вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой). Возьмем $\vec{BA}$:

$\vec{P_1P_2} = \vec{BA} = A - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Далее, найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-3/2))$

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$.

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Затем вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ с векторным произведением $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1/2)(\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(-3/2) + (0)(0) = \sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4 = 4\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}$.

Наконец, подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 1$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AE_1$ равно 1.

48. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $CF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Перевод в СИ: Поскольку единицы длины не указаны, принимаем $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CF_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, длина стороны шестиугольника основания $a=1$, а высота призмы также равна 1.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь ту же x и y координаты, но z-координату, равную высоте призмы (1).

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы направлений для заданных прямых:

1. Прямая $BB_1$: проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор направления $\vec{u} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (0, 0, 1)$.

2. Прямая $CF_1$: проходит через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор направления $\vec{v} = \vec{CF_1} = F_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от точки на одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой прямой.

Прямая $BB_1$ параллельна оси Oz. Найдем плоскость, содержащую прямую $CF_1$ и параллельную прямой $BB_1$. Нормальный вектор $\vec{n}$ этой плоскости будет перпендикулярен векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 1) \times (1, -\sqrt{3}, 1)$

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1) = (\sqrt{3}, 1, 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормального вектора:

$\sqrt{3}x + 1y + 0z + D = 0 \Rightarrow \sqrt{3}x + y + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, которая лежит в этой плоскости:

$\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} + D = 0$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей $CF_1$ и параллельной $BB_1$, есть $\sqrt{3}x + y = 0$.

Теперь найдем расстояние от любой точки на прямой $BB_1$ до этой плоскости. Возьмем точку $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ определяется формулой:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Подставляем значения для точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и плоскости $\sqrt{3}x + y = 0$ ($A=\sqrt{3}, B=1, C=0, D=0$):

$d = \frac{|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) + 1(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

49. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FC_1$.

Дано

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1.

Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Единицы измерения не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FC_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FC_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим начало координат в центре нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (перпендикулярно плоскости основания).

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

Вершины нижнего основания ($z=0$): $A = (1, 0, 0)$, $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Высота призмы $h=1$, поэтому $z$-координаты вершин верхнего основания равны 1.

Вершины верхнего основания ($z=1$): $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Определим точки и направляющие векторы для каждой прямой.

Прямая $BB_1$: Точка на прямой $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Прямая $FC_1$: Точка на прямой $P_2 = F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{FC_1} = C_1 - F = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Сначала найдем вектор $\vec{P_1P_2}$: $\vec{P_1P_2} = \vec{BF} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Затем найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot (-1)) = -\sqrt{3}\mathbf{i} - \mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, -1, 0)$.

Вычислим модуль этого векторного произведения: $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем смешанное произведение (скалярное произведение $\vec{P_1P_2}$ на $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$): $(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, -1, 0) = (0)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(-1) + (0)(0) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Наконец, вычислим расстояние: $d = \frac{|\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Данный результат может быть также получен геометрическим методом:

Прямая $BB_1$ вертикальна (параллельна оси $Oz$). Найдем уравнение плоскости, содержащей прямую $FC_1$ и параллельной прямой $BB_1$. Поскольку $BB_1$ параллельна оси $Oz$, искомая плоскость должна быть вертикальной, т.е. ее нормальный вектор лежит в плоскости $Oxy$.

Нормальный вектор этой плоскости параллелен $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\sqrt{3}, -1, 0)$. Возьмем нормальный вектор $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, 0)$ (можно взять вектор, противоположный найденному, для удобства).

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=\sqrt{3}$, $B=1$, $C=0$: $\sqrt{3}x + y + D = 0$.

Плоскость проходит через точку $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Подставим ее координаты для нахождения $D$: $\sqrt{3}(1/2) + (-\sqrt{3}/2) + D = 0 \Rightarrow \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Уравнение плоскости, содержащей $FC_1$ и параллельной $BB_1$, есть $\sqrt{3}x + y = 0$.

Расстояние от прямой $BB_1$ до этой плоскости равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ (например, от точки $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$) до этой плоскости.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Подставим координаты точки $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и коэффициенты плоскости $A=\sqrt{3}$, $B=1$, $C=0$, $D=0$: $d = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) + 0(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

50. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DA_1$.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$ (условные единицы длины).

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DA_1$.

Воспользуемся методом координат. Поместим центр основания $ABCDEF$ в начало координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (оси призмы), а ось $Ox$ направим через вершину $A$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне.

Координаты вершин основания $ABCDEF$: $A = (1, 0, 0)$, $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$, $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (так как высота $h=1$, то $z$-координата увеличивается на 1): $A_1 = (1, 0, 1)$, $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $D_1 = (-1, 0, 1)$.

Для прямой $BB_1$ возьмем точку $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Для прямой $DA_1$ возьмем точку $P_2 = D = (-1, 0, 0)$ и направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = \vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 2) = (0, 2, 0)$

Вычислим модуль этого вектора:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, 2, 0) = (3/2) \cdot 0 + (\sqrt{3}/2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Геометрический метод подтверждает этот результат. Прямая $BB_1$ параллельна оси $Oz$ и, следовательно, параллельна плоскости $DAA_1D_1$ (так как эта плоскость содержит прямую $AA_1$, которая параллельна $BB_1$). Расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $DA_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $DAA_1D_1$. В нашей системе координат плоскость $DAA_1D_1$ совпадает с плоскостью $y=0$. Координаты точки $B$ на прямой $BB_1$ - $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Расстояние от этой точки до плоскости $y=0$ равно абсолютной величине ее $y$-координаты, то есть $|\sqrt{3}/2| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DA_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

51. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны $1$. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AD_1$.

Решение:

1. Выберем систему координат.

Разместим начало координат $O$ в центре нижнего основания $ABCDEF$.
Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания.
Ось $Oz$ направим по высоте призмы $OO_1$.

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (высота $h=1$):
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$

2. Определим направляющие векторы и точки для каждой прямой.

Прямая $BB_1$:
Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
Точка на прямой $BB_1$: $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая $AD_1$:
Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.
Точка на прямой $AD_1$: $P_2 = A = (1, 0, 0)$.

3. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через $P_1$ с направляющим вектором $\vec{u}$) и $L_2$ (проходящей через $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v}$) вычисляется по формуле:
$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{\|\vec{u} \times \vec{v}\|}$

Вычислим необходимые компоненты:

Вектор $P_2 - P_1 = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-2))$
$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(0) = (0, -2, 0)$.

Модуль векторного произведения:
$\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|(0, -2, 0)\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Смешанное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:
$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -2, 0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Альтернативный метод: расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

Прямая $AD_1$ содержит точку $A(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}=(-2,0,1)$.
Прямая $BB_1$ имеет направляющий вектор $\vec{u}=(0,0,1)$.

Найдем уравнение плоскости $\Pi$, содержащей прямую $AD_1$ и параллельной прямой $BB_1$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $\Pi$ будет перпендикулярен векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Следовательно, $\vec{n}$ параллелен $\vec{u} \times \vec{v}$.
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0, -2, 0)$. Для удобства можно использовать $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставив $\vec{n}=(0,1,0)$, получаем $0x + 1y + 0z + D = 0$, или $y + D = 0$.
Поскольку плоскость $\Pi$ содержит точку $A(1,0,0)$, подставим её координаты в уравнение плоскости: $0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости $\Pi$ есть $y = 0$ (это плоскость $Oxz$).

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (принадлежащей прямой $BB_1$) до плоскости $y = 0$.
Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Для точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и плоскости $y=0$ ($0x+1y+0z+0=0$):
$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

52. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $ED_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Высота призмы $h=1$.

Найти

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $ED_1$.

Решение

Введём декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ направим по лучу $OA$.

Так как призма правильная и все её рёбра равны 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин шестиугольного основания $ABCDEF$ для $a=1$:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, увеличенную на $h=1$:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдём векторы направлений для прямых $BA_1$ и $ED_1$:

Для прямой $BA_1$: возьмём точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Для прямой $ED_1$: возьмём точку $P_2 = E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и вектор $\vec{v_2} = \vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}\left((-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(\frac{\sqrt{3}}{2})\right) - \mathbf{j}\left((\frac{1}{2})(1) - (1)(-\frac{1}{2})\right) + \mathbf{k}\left((\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2})\right)$

$= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

$= -\sqrt{3}\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, -1, 0)$

Найдём модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

Найдём вектор $\vec{P_1P_2} = E - B$:

$\vec{P_1P_2} = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение $\vec{P_1P_2}$ на $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, -1, 0)$

$= (-1)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(-1) + (0)(0)$

$= \sqrt{3} + \sqrt{3} + 0 = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $ED_1$ равно $\sqrt{3}$.

53. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$. (Все величины приведены в единой системе измерения.)

Найти

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная и длина стороны основания $a=1$, координаты вершин нижнего основания будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы также равна длине ребра, то есть $h=1$. Тогда координаты вершин верхнего основания:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем направляющие векторы прямых $BA_1$ и $CB_1$.

Для прямой $BA_1$: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $A_1(1, 0, 1)$.

Вектор $\vec{u} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $CB_1$: $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор $\vec{v} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (1, 0, 1)$.

Найдем вектор $\vec{w}$, соединяющий точку на первой прямой (например, $B$) с точкой на второй прямой (например, $C$).

$\vec{w} = \vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения векторов $\vec{w}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$, деленному на модуль векторного произведения векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$d = \frac{|\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 \right)$

$= \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Найдем модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.