Номер 43, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EC_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Высота призмы $h=1$, так как все ребра равны 1.

Координаты вершин нижнего основания (z-координата равна 0):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos 120^\circ, 1 \cdot \sin 120^\circ, 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos 240^\circ, 1 \cdot \sin 240^\circ, 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos 300^\circ, 1 \cdot \sin 300^\circ, 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z-координата равна 1):

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле $d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$, где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ - направляющие векторы прямых, а $M_1$ и $M_2$ - точки, принадлежащие этим прямым.

Для прямой $BB_1$: возьмем точку $M_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Направляющий вектор $\vec{u_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (0, 0, 1)$.

Для прямой $EC_1$: возьмем точку $M_2 = E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{EC_1} = C_1 - E = (-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1-0) = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй: $\vec{M_1M_2} = \vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 0) = (-\sqrt{3}, 0, 0)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:

$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, 0, 0) = (-1)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(0) + (0)(0) = \sqrt{3}$.

Теперь найдем расстояние между прямыми:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 1$.

Альтернативный метод: Поскольку прямая $BB_1$ параллельна оси Oz, мы можем найти расстояние от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости, содержащей прямую $EC_1$ и параллельной прямой $BB_1$.

Направляющий вектор прямой $BB_1$ - это $\vec{u_1} = (0,0,1)$. Направляющий вектор прямой $EC_1$ - это $\vec{u_2} = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\Pi$, содержащей $EC_1$ и параллельной $BB_1$, будет перпендикулярен обоим направляющим векторам. Таким образом, $\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = (-\sqrt{3}, 0, 0)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Подставив компоненты вектора нормали, получаем $-\sqrt{3}x + 0y + 0z + D = 0$, или $-\sqrt{3}x + D = 0$.

Плоскость $\Pi$ проходит через точку $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Подставим координаты $E$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$-\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + D = 0 \implies \frac{\sqrt{3}}{2} + D = 0 \implies D = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости $\Pi$: $-\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Делим на $-\sqrt{3}$, получаем $x + \frac{1}{2} = 0$, или $x = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на прямой $BB_1$ до плоскости $x + \frac{1}{2} = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Здесь $A=1, B=0, C=0, D=\frac{1}{2}$, и $(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$d = \frac{|1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}|}{\sqrt{1}} = \frac{|1|}{1} = 1$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 1