Номер 45, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FD_1$.

Перевод в СИ:

Данные уже приведены в безразмерных единицах, которые не требуют перевода в СИ. Длина ребра основания $a=1$. Высота призмы $h=1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FD_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (например, параллельно $AA_1$).

Координаты вершин нижнего основания (для правильного шестиугольника со стороной $a=1$):

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (с $z$-координатой, равной высоте призмы $h=1$):

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Определим направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Для прямой $BB_1$:

Направляющий вектор $\vec{u_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (0, 0, 1)$.

Точка на прямой $BB_1$: $M_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для прямой $FD_1$:

Направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{FD_1} = D_1 - F = (-1-\frac{1}{2}, 0-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Точка на прямой $FD_1$: $M_2 = F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор, соединяющий точки $M_1$ и $M_2$:

$\vec{M_1M_2} = \vec{BF} = F - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

Вычислим векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{3}{2}) + \mathbf{k}(0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.

Вычислим смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}]) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$

$= 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot 0 = 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим модуль векторного произведения (знаменатель формулы):

$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = |(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 0} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{|\frac{3\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FD_1$ равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ до плоскости, содержащей прямую $FD_1$ и параллельной прямой $BB_1$.

Такой плоскостью является вертикальная плоскость, проходящая через точки $F$ и $D$ нижнего основания, а также $F_1$ и $D_1$ верхнего основания (плоскость $FDD_1F_1$).

Поскольку прямая $BB_1$ параллельна оси $Oz$, а плоскость $FDD_1F_1$ также вертикальна (содержит вертикальный отрезок $DD_1$), то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки на $BB_1$ до этой плоскости. Выберем точку $B$ на $BB_1$. Расстояние от $B$ до плоскости $FDD_1F_1$ в этом случае равно расстоянию от $B$ до линии пересечения этой плоскости с плоскостью основания, то есть до прямой $FD$.

Координаты точек в плоскости основания: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1, 0)$.

Найдем уравнение прямой $FD$. Наклон прямой $m = \frac{0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{-1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Уравнение прямой, проходящей через $D(-1,0)$ с найденным наклоном: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$.

Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+C=0$: $3y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 9}}$

$d = \frac{|\frac{4\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{12}} = \frac{|2\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FD_1$ равно $1.5$.