Номер 51, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

51. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны $1$. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AD_1$.

Решение:

1. Выберем систему координат.

Разместим начало координат $O$ в центре нижнего основания $ABCDEF$.
Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания.
Ось $Oz$ направим по высоте призмы $OO_1$.

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (высота $h=1$):
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$

2. Определим направляющие векторы и точки для каждой прямой.

Прямая $BB_1$:
Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
Точка на прямой $BB_1$: $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая $AD_1$:
Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.
Точка на прямой $AD_1$: $P_2 = A = (1, 0, 0)$.

3. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через $P_1$ с направляющим вектором $\vec{u}$) и $L_2$ (проходящей через $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v}$) вычисляется по формуле:
$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{\|\vec{u} \times \vec{v}\|}$

Вычислим необходимые компоненты:

Вектор $P_2 - P_1 = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-2))$
$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(0) = (0, -2, 0)$.

Модуль векторного произведения:
$\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|(0, -2, 0)\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Смешанное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:
$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -2, 0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Альтернативный метод: расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

Прямая $AD_1$ содержит точку $A(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}=(-2,0,1)$.
Прямая $BB_1$ имеет направляющий вектор $\vec{u}=(0,0,1)$.

Найдем уравнение плоскости $\Pi$, содержащей прямую $AD_1$ и параллельной прямой $BB_1$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $\Pi$ будет перпендикулярен векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Следовательно, $\vec{n}$ параллелен $\vec{u} \times \vec{v}$.
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0, -2, 0)$. Для удобства можно использовать $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставив $\vec{n}=(0,1,0)$, получаем $0x + 1y + 0z + D = 0$, или $y + D = 0$.
Поскольку плоскость $\Pi$ содержит точку $A(1,0,0)$, подставим её координаты в уравнение плоскости: $0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости $\Pi$ есть $y = 0$ (это плоскость $Oxz$).

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (принадлежащей прямой $BB_1$) до плоскости $y = 0$.
Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Для точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и плоскости $y=0$ ($0x+1y+0z+0=0$):
$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$