Номер 57, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

57. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

58. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра призмы равны 1, что означает длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (высоты призмы). Так как все ребра призмы равны 1, то сторона правильного шестиугольника основания $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Разместим вершину $A$ на положительной полуоси $Ox$. Тогда координаты вершин:

$A=(1,0,0)$

$B=(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1,0,0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h=1$ к $z$-координате:

$A_1=(1,0,1)$

$B_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем вектор направления $\vec{v_1}$ для прямой $BA_1$:

$\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор направления $\vec{v_2}$ для прямой $DB_1$:

$\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Возьмем точку $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на прямой $BA_1$ и точку $P_2 = D = (-1,0,0)$ на прямой $DB_1$. Найдем вектор $\vec{P_1 P_2}$, соединяющий эти точки:

$\vec{P_1 P_2} = \vec{BD} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1 P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{3}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{3}{2} \right)$

$= \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4} \right)$

$= \mathbf{i} (-\sqrt{3}) - \mathbf{j} (-1) + \mathbf{k} (\frac{4\sqrt{3}}{4})$

$= (-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$

$= (-\frac{3}{2})(-\sqrt{3}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (0)(\sqrt{3})$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.