Номер 3, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C$, $D$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ единичный, что означает длина его ребра $a = 1$.

Найти

Изобразить сечение куба, проходящее через вершины $C$, $D$ и $A_1$.

Найти площадь этого сечения.

Решение

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $C$, $D$ и $A_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, представляет собой треугольник $DCA_1$. Для построения этого сечения необходимо соединить заданные вершины следующим образом:

1. Соединить вершины $D$ и $C$. Получится отрезок $DC$, который является ребром куба, лежащим на его нижней грани $ABCD$.

2. Соединить вершины $D$ и $A_1$. Получится отрезок $DA_1$, который является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$.

3. Соединить вершины $C$ и $A_1$. Получится отрезок $CA_1$, который является пространственной диагональю куба.

Таким образом, искомое сечение – это треугольник $DCA_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $DCA_1$ определим длины его сторон. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

1. Длина стороны $DC$: это ребро куба. $DC = a = 1$.

2. Длина стороны $DA_1$: это диагональ грани куба $ADD_1A_1$. Длина диагонали грани куба находится по теореме Пифагора: $DA_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $CA_1$: это пространственная диагональ куба. Длина пространственной диагонали куба находится по формуле: $CA_1 = \sqrt{CD^2 + DA^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Таким образом, мы имеем треугольник $DCA_1$ со сторонами $DC=1$, $DA_1=\sqrt{2}$ и $CA_1=\sqrt{3}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $DC^2 + DA_1^2 = CA_1^2$? $1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$. $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $DC^2 + DA_1^2 = CA_1^2$ ($1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$), треугольник $DCA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Катетами в данном случае являются $DC$ и $DA_1$.

Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot DA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечение является треугольником $DCA_1$. Его площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.