Номер 10, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через:

• вершину $B$;
• середину ребра $AA_1$, обозначим её $M$;
• середину ребра $DD_1$, обозначим её $N$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины). Поскольку размеры не заданы в конкретных единицах, площадь будет выражена в квадратных единицах.

Найти:

Изобразить (описать) сечение и найти его площадь $S$.

Решение:

Для удобства введём систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Определим координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $B(1,0,0)$.
• Середина ребра $AA_1$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,0,1/2)$.
• Середина ребра $DD_1$: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,1/2)$.

Описание сечения:

Сечение определяется плоскостью, проходящей через точки $B(1,0,0)$, $M(0,0,1/2)$ и $N(0,1,1/2)$.

Найдем уравнение этой плоскости. Используем векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MN}$:

• $\vec{MB} = B - M = (1-0, 0-0, 0-1/2) = (1, 0, -1/2)$.
• $\vec{MN} = N - M = (0-0, 1-0, 1/2-1/2) = (0, 1, 0)$.

Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ является векторным произведением $\vec{MB} \times \vec{MN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-1/2) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - (-1/2) \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \vec{i}(1/2) - \vec{j}(0) + \vec{k}(1) = (1/2, 0, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$, где $(A,B,C)$ - это координаты нормального вектора. Тогда $1/2 x + 0 y + 1 z = D$. Подставим координаты точки $B(1,0,0)$ для нахождения $D$:

$1/2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = D \implies D = 1/2$.

Уравнение плоскости сечения: $1/2 x + z = 1/2$, или, умножив на 2, $x + 2z = 1$.

Проверим, какие еще вершины куба лежат в этой плоскости, подставив их координаты в уравнение $x+2z=1$:

• $A(0,0,0): 0 + 2(0) = 0 \neq 1$.
• $B(1,0,0): 1 + 2(0) = 1$. (Лежит)
• $C(1,1,0): 1 + 2(0) = 1$. (Лежит!)
• $D(0,1,0): 0 + 2(0) = 0 \neq 1$.
• $A_1(0,0,1): 0 + 2(1) = 2 \neq 1$.
• $B_1(1,0,1): 1 + 2(1) = 3 \neq 1$.
• $C_1(1,1,1): 1 + 2(1) = 3 \neq 1$.
• $D_1(0,1,1): 0 + 2(1) = 2 \neq 1$.

Таким образом, сечение проходит через вершины $B$, $C$, а также через середины рёбер $M$ и $N$. Сечением является четырёхугольник $BMNC$.

Определим тип этого четырёхугольника:

• Сторона $MN$ соединяет середины рёбер $AA_1$ и $DD_1$. Оба ребра вертикальны, параллельны оси $Oz$. Значит, $MN$ параллелен ребру $AD$ (и $BC$). Длина $MN = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = \sqrt{0+1+0} = 1$.
• Сторона $BC$ является ребром куба. Она также параллельна оси $Oy$ и имеет длину $BC = 1$.

Поскольку $MN \parallel BC$ и $MN = BC$, то четырёхугольник $BMNC$ является параллелограммом.

Найдем длины двух других сторон:

• Длина $BM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $CN = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как $BM=CN$, параллелограмм $BMNC$ является прямоугольником или ромбом (или квадратом, если все стороны равны). Поскольку $BC \neq BM$, это не ромб и не квадрат.

Проверим, является ли $BMNC$ прямоугольником, то есть перпендикулярны ли смежные стороны, например $BC$ и $BM$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BM}$:

• $\vec{CB} = B - C = (1-1, 0-1, 0-0) = (0, -1, 0)$.
• $\vec{BM} = M - B = (0-1, 0-0, 1/2-0) = (-1, 0, 1/2)$.

$\vec{CB} \cdot \vec{BM} = (0)(-1) + (-1)(0) + (0)(1/2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{BM}$ перпендикулярны. Следовательно, угол между сторонами $BC$ и $BM$ составляет $90^{\circ}$.

Таким образом, сечение является прямоугольником $BMNC$ со сторонами $BC=1$ и $BM=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Нахождение площади:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

$S_{BMNC} = BC \cdot BM = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ:

Сечение является прямоугольником $BMNC$ со сторонами $BC=1$ и $BM=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь сечения: $S = \frac{\sqrt{5}}{2}$.