Номер 17, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через середину ребра $SA$ и параллельное основанию $ABCD$. Найдите его площадь.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра пирамиды равны 1, то есть $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Сечение проходит через точку $M$ - середину ребра $SA$.

Плоскость сечения параллельна основанию $ABCD$.

Перевод данных в систему СИ:

Длины ребер заданы в условных единицах длины. Пусть $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

1. Описание и изображение сечения:

Поскольку плоскость сечения параллельна основанию $ABCD$ правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ и проходит через середину ребра $SA$ (точку $M$), то это сечение будет также правильным четырехугольником, то есть квадратом. Сечение отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду $SMNPQ$, которая подобна исходной пирамиде $SABCD$.

Точки $M$, $N$, $P$, $Q$ являются серединами боковых ребер $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ соответственно. Это следует из того, что если плоскость параллельна основанию пирамиды и проходит через середину одного бокового ребра, то она пересекает все остальные боковые ребра также в их серединах. Таким образом, $M$ - середина $SA$, $N$ - середина $SB$, $P$ - середина $SC$, $Q$ - середина $SD$.

Сечение $MNPQ$ представляет собой квадрат, стороны которого параллельны сторонам основания $ABCD$. Визуально это выглядит как уменьшенная копия основания, расположенная над ним.

2. Нахождение площади сечения:

Пирамида $SMNPQ$ подобна пирамиде $SABCD$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров. Так как $M$ - середина ребра $SA$, то длина отрезка $SM$ равна половине длины ребра $SA$: $SM = \frac{1}{2} SA$.

Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{SM}{SA} = \frac{1/2 \cdot SA}{SA} = \frac{1}{2}$.

Сторона основания $ABCD$ (например, $AB$) равна 1. Сторона сечения $MNPQ$ (например, $MN$) будет равна стороне основания, умноженной на коэффициент подобия:

$MN = k \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Поскольку сечение $MNPQ$ является квадратом со стороной $MN = \frac{1}{2}$, его площадь $S_{сеч}$ вычисляется как квадрат длины его стороны:

$S_{сеч} = (MN)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $S_{сеч} = \frac{1}{4}$.