Номер 11, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CD, C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину A и середины ребер CD и $C_1D_1$.

Пусть M - середина ребра CD, N - середина ребра $C_1D_1$.

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер CD, $C_1D_1$.

Для построения сечения введем систему координат с началом в точке A. Ось OX направим вдоль AB, ось OY вдоль AD, ось OZ вдоль $AA_1$. Тогда координаты вершин куба будут:

• A = $(0,0,0)$

• B = $(1,0,0)$

• C = $(1,1,0)$

• D = $(0,1,0)$

• $A_1$ = $(0,0,1)$

• $B_1$ = $(1,0,1)$

• $C_1$ = $(1,1,1)$

• $D_1$ = $(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

• Вершина A: $(0,0,0)$

• Середина ребра CD (обозначим M): Ребро CD соединяет точки C$(1,1,0)$ и D$(0,1,0)$. Координаты середины M: $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 0)$.

• Середина ребра $C_1D_1$ (обозначим N): Ребро $C_1D_1$ соединяет точки $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$. Координаты середины N: $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Сечение проходит через точки A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2}, 1, 0)$ и N$(\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Для определения полной фигуры сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ лежат в этой плоскости:

• $\vec{AM} = M - A = (\frac{1}{2}, 1, 0)$

• $\vec{AN} = N - A = (\frac{1}{2}, 1, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(0) = (1, -\frac{1}{2}, 0)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Используя вектор нормали $(1, -\frac{1}{2}, 0)$, получаем $1x - \frac{1}{2}y + 0z = D$. Так как плоскость проходит через точку A$(0,0,0)$, подставим ее координаты: $1(0) - \frac{1}{2}(0) + 0(0) = D \Rightarrow D=0$.

Уравнение плоскости сечения: $x - \frac{1}{2}y = 0$, или $2x - y = 0$, то есть $y = 2x$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро AB (на $z=0$, $y=0$): $0 = 2x \Rightarrow x=0$. Точка A$(0,0,0)$.

• Ребро CD (на $z=0$, $y=1$): $1 = 2x \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Точка M$(\frac{1}{2},1,0)$.

• Ребро $A_1B_1$ (на $z=1$, $y=0$): $0 = 2x \Rightarrow x=0$. Точка $A_1(0,0,1)$.

• Ребро $C_1D_1$ (на $z=1$, $y=1$): $1 = 2x \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Точка N$(\frac{1}{2},1,1)$.

Других точек пересечения с ребрами куба нет. Таким образом, сечение является четырехугольником $AMNA_1$ с вершинами A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2},1,0)$, N$(\frac{1}{2},1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Для изображения: начертите куб. Отметьте вершину A. Отметьте середину M ребра CD. Отметьте середину N ребра $C_1D_1$. Отметьте вершину $A_1$. Соедините точки в порядке A-M-N-$A_1$-A. Полученный четырехугольник $AMNA_1$ является искомым сечением.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $AMNA_1$ с вершинами A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2},1,0)$, N$(\frac{1}{2},1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Найдите его площадь.

Найденное сечение $AMNA_1$ является четырехугольником с вершинами A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2},1,0)$, N$(\frac{1}{2},1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Рассмотрим векторы сторон:

• $\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$

• $\vec{AM} = (\frac{1}{2}-0, 1-0, 0-0) = (\frac{1}{2},1,0)$

• $\vec{MN} = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-1, 1-0) = (0,0,1)$

• $\vec{NA_1} = (0-\frac{1}{2}, 0-1, 1-1) = (-\frac{1}{2},-1,0)$

Мы видим, что $\vec{AA_1} = \vec{MN}$, что означает, что стороны $AA_1$ и $MN$ параллельны и равны по длине (обе равны $1$, так как длина ребра куба равна $1$). Таким образом, $AMNA_1$ является параллелограммом.

Для того чтобы определить тип параллелограмма, найдем скалярное произведение векторов смежных сторон, например $\vec{AA_1}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AM} = (0)(\frac{1}{2}) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{AM}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между смежными сторонами $AA_1$ и $AM$ составляет $90^\circ$. Следовательно, параллелограмм $AMNA_1$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Длина стороны $AA_1$ равна $1$. Длина стороны $AM$:

$|\vec{AM}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{1+4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Площадь сечения $S = |AA_1| \cdot |AM| = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.