Номер 18, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середину ребра $SB$ и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь.

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
• Длина всех ребер $a = 1$.
• Сечение проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
• Плоскость сечения перпендикулярна ребру $SB$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной и все ее ребра равны $a=1$, это означает, что основание $ABCD$ является квадратом со стороной $1$, а все боковые грани (например, $\triangle SAB$) являются равносторонними треугольниками со стороной $1$.

Определим высоту пирамиды $SO$. Диагональ основания $AC = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра основания $O$ до вершины $A$ равно $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:$SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.Вершины основания: $A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$, $B = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$, $C = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, $D = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$.Вершина пирамиды: $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем координаты точки $M$ — середины ребра $SB$.$M = \left(\frac{0 + (-\frac{1}{2})}{2}, \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Вектор ребра $SB$: $\vec{SB} = B - S = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.Поскольку плоскость сечения перпендикулярна ребру $SB$, вектор $\vec{SB}$ является нормальным вектором этой плоскости.Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(N_x, N_y, N_z)$, имеет вид $N_x(x-x_0) + N_y(y-y_0) + N_z(z-z_0) = 0$.Для нашей плоскости, проходящей через $M\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ с нормалью $\vec{SB}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$:$-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{4}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2}\left(z-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0$.Умножим все на $-2$:$\left(x+\frac{1}{4}\right) - \left(y-\frac{1}{4}\right) + \sqrt{2}\left(z-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0$.$x + \frac{1}{4} - y + \frac{1}{4} + \sqrt{2}z - \frac{2}{4} = 0$.$x - y + \sqrt{2}z = 0$.Это и есть уравнение плоскости сечения.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды:

1. Пересечение с ребром $SA$: Параметрическое уравнение прямой $SA$: $P(t) = (1-t)S + tA = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})(1-t) + (\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)t = \left(\frac{t}{2}, \frac{t}{2}, \frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right)$.Подставим в уравнение плоскости: $\frac{t}{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right) = 0$.$0 + (1-t) = 0 \Rightarrow t=1$.При $t=1$, точка пересечения $P(1) = A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$. Таким образом, точка $A$ лежит в плоскости сечения.

2. Пересечение с ребром $SC$: Параметрическое уравнение прямой $SC$: $P(t) = (1-t)S + tC = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})(1-t) + (-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)t = \left(-\frac{t}{2}, -\frac{t}{2}, \frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right)$.Подставим в уравнение плоскости: $-\frac{t}{2} - \left(-\frac{t}{2}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right) = 0$.$0 + (1-t) = 0 \Rightarrow t=1$.При $t=1$, точка пересечения $P(1) = C = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$. Таким образом, точка $C$ лежит в плоскости сечения.

3. Пересечение с ребром $SD$: Параметрическое уравнение прямой $SD$: $P(t) = (1-t)S + tD = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})(1-t) + (\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)t = \left(\frac{t}{2}, -\frac{t}{2}, \frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right)$.Подставим в уравнение плоскости: $\frac{t}{2} - \left(-\frac{t}{2}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right) = 0$.$t + (1-t) = 0 \Rightarrow 1 = 0$.Это означает, что прямая $SD$ параллельна плоскости сечения и не лежит в ней. (Проверим: вектор направления $\vec{SD} = D-S = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Скалярное произведение $\vec{SD} \cdot \vec{SB} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 0$. Действительно, $\vec{SD}$ перпендикулярен $\vec{SB}$, то есть $SD$ параллелен плоскости сечения.)

Поскольку точки $A$, $C$ и $M$ принадлежат плоскости сечения, и $M$ является серединой $SB$, а $AM$ и $CM$ являются медианами равносторонних треугольников $\triangle SAB$ и $\triangle SCB$ соответственно, то $AM \perp SB$ и $CM \perp SB$. (В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также высотой, если она проведена из вершины к середине стороны, на которую она опускается. Здесь $AM$ - медиана к $SB$, $CM$ - медиана к $SB$).Также проверим, что диагональ основания $AC$ перпендикулярна $SB$:$\vec{AC} = C-A = (-1, -1, 0)$.$\vec{AC} \cdot \vec{SB} = (-1)\left(-\frac{1}{2}\right) + (-1)\left(\frac{1}{2}\right) + 0\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0$.Таким образом, $AC \perp SB$.Поскольку $AC$ перпендикулярен $SB$ и $A, C$ лежат в плоскости сечения, а $M$ - также в этой плоскости (и на $SB$), то сечением пирамиды является треугольник $AMC$.

Изобразите сечение:

Сечение является треугольником $AMC$. Его вершины - точка $A$ на ребре $SA$, точка $M$ на ребре $SB$ (середина $SB$), и точка $C$ на ребре $SC$. Стороны сечения - отрезки $AM$, $MC$ и $AC$.

Найдите его площадь:

Определим длины сторон $\triangle AMC$:

• $AC$: Это диагональ квадрата основания со стороной $1$. $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• $AM$: Это медиана равностороннего треугольника $\triangle SAB$ со стороной $1$. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $CM$: Аналогично, $CM$ является медианой равностороннего треугольника $\triangle SCB$ со стороной $1$. $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC = \sqrt{2}$ и боковыми сторонами $AM = CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Для нахождения площади равнобедренного треугольника, найдем высоту, проведенную к основанию $AC$. Пусть $O$ - середина $AC$ (координаты $O=(0,0,0)$).Высота $MO$ является медианой и высотой в $\triangle AMC$.$MO = \sqrt{AM^2 - AO^2}$.$AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$MO = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Площадь сечения (треугольника $AMC$) $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO$.$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.