Номер 21, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$.
Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная.

Все ребра призмы равны 1.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная единица, результат площади будет в соответствующих квадратных единицах).

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения $S_{ABC_1}$.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$, является многоугольником, образованным соединением этих вершин. Поскольку эти три вершины не лежат на одной прямой и не образуют грани призмы, сечением будет треугольник $ABC_1$.Вершины $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AB$ является одной из сторон сечения.Отрезок $AC_1$ соединяет вершину $A$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Этот отрезок является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$.Отрезок $BC_1$ соединяет вершину $B$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Этот отрезок является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$.Таким образом, сечение представляет собой треугольник $ABC_1$.Поскольку призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, а боковые грани – прямоугольниками. Все ребра призмы равны 1.Длина стороны $AB$ равна ребру основания: $AB = 1$.Боковая грань $ACC_1A_1$ является прямоугольником со сторонами $AC=1$ и $CC_1=1$. Фактически это квадрат. Длина диагонали $AC_1$ может быть найдена по теореме Пифагора: $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.Аналогично, боковая грань $BCC_1B_1$ является квадратом со сторонами $BC=1$ и $CC_1=1$. Длина диагонали $BC_1$ также равна: $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.Следовательно, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным треугольником со сторонами $AB=1$, $AC_1=\sqrt{2}$ и $BC_1=\sqrt{2}$.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $ABC_1$ со сторонами $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $ABC_1$ с основанием $AB=1$ и боковыми сторонами $AC_1=BC_1=\sqrt{2}$, опустим высоту из вершины $C_1$ на основание $AB$. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда $C_1M$ — высота треугольника $ABC_1$.Длина отрезка $AM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$ (прямой угол при вершине $M$). По теореме Пифагора:$AC_1^2 = AM^2 + C_1M^2$$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + C_1M^2$$2 = \frac{1}{4} + C_1M^2$Выразим $C_1M^2$:$C_1M^2 = 2 - \frac{1}{4}$$C_1M^2 = \frac{8}{4} - \frac{1}{4}$$C_1M^2 = \frac{7}{4}$Извлечем квадратный корень для нахождения $C_1M$:$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$Теперь вычислим площадь треугольника $ABC_1$ по формуле:$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M$$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}$$S_{ABC_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{7}}{4}$.