Номер 24, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $BC$ и $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AC$, $BC$ и $A_1 C_1$. Пусть эти середины будут $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Перевод в СИ

Размеры даны в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Изобразить сечение

Найти его площадь

Решение

Изобразить сечение

Пусть $M$ - середина ребра $AC$, $N$ - середина ребра $BC$, и $K$ - середина ребра $A_1 C_1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания призмы $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет эти две точки.

Точка $K$ лежит в плоскости верхнего основания призмы $A_1 B_1 C_1$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через три точки $M$, $N$ и $K$, является треугольник $MNK$. Для того чтобы "изобразить" сечение, необходимо представить или нарисовать призму, отметить на ней середины ребер $AC$, $BC$ и $A_1 C_1$ (точки $M$, $N$, $K$), а затем соединить эти точки отрезками $MN$, $MK$, $NK$. Полученный треугольник $MNK$ и будет искомым сечением.

Найти его площадь

Найдем длины сторон треугольника $MNK$.

1. Длина отрезка $MN$:

Так как $M$ и $N$ - середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, отрезок $MN$ является средней линией правильного треугольника $ABC$.

Длина стороны основания призмы $a = 1$.

Следовательно, длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AB$ (или $AC$, или $BC$, так как треугольник $ABC$ правильный): $MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Длина отрезка $MK$ и его отношение к плоскости основания:

Точка $M$ является серединой ребра $AC$. Точка $K$ является серединой ребра $A_1 C_1$.

Поскольку призма правильная, боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны плоскостям оснований $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$. Длина каждого бокового ребра также равна $a = 1$.

Проекцией точки $K$ на плоскость нижнего основания $ABC$ является середина ребра $AC$, то есть точка $M$.

Таким образом, отрезок $KM$ является перпендикуляром, опущенным из точки $K$ на плоскость основания $ABC$.

Длина этого перпендикуляра равна высоте призмы, то есть $KM = AA_1 = 1$.

3. Определение типа треугольника $MNK$:

Поскольку отрезок $KM$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $M$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости основания $ABC$ и проходит через точку $M$.

Следовательно, $KM \perp MN$.

Это означает, что треугольник $MNK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $M$.

4. Площадь треугольника $MNK$:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MK$

Подставим найденные значения $MN = \frac{1}{2}$ и $MK = 1$:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

$S_{MNK} = \frac{1}{4}$

Ответ:

Площадь сечения равна $S = \frac{1}{4}$.