Номер 23, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $AC$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$ и $A_1 B_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребра задана без единиц измерения, будем считать ее условной единицей длины, например, метром. Тогда $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины заданных ребер:

• $M$ — середина ребра $AB$.
• $N$ — середина ребра $AC$.
• $P$ — середина ребра $A_1 B_1$.

Изобразить сечение

1. В основании призмы, треугольнике $ABC$, отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MN$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC$. Поскольку все ребра призмы равны $1$, то $BC = 1$, и $MN = \frac{1}{2}$.

2. Поскольку плоскости оснований призмы $(ABC)$ и $(A_1 B_1 C_1)$ параллельны, линии пересечения плоскости сечения с этими основаниями также параллельны. То есть, линия сечения в плоскости верхнего основания $(A_1 B_1 C_1)$ должна быть параллельна $MN$.

3. Пусть $Q$ — точка пересечения плоскости сечения с ребром $A_1 C_1$. Плоскость сечения содержит точку $P$, которая является серединой ребра $A_1 B_1$. Линия сечения в плоскости верхнего основания — это отрезок $PQ$. Так как $PQ \parallel MN$, а $MN \parallel BC$ и $BC \parallel B_1 C_1$, то $PQ \parallel B_1 C_1$. В $\triangle A_1 B_1 C_1$, если отрезок $PQ$ проходит через середину $P$ стороны $A_1 B_1$ и параллелен стороне $B_1 C_1$, то он является средней линией, и точка $Q$ должна быть серединой стороны $A_1 C_1$. Таким образом, $PQ = \frac{1}{2} B_1 C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

4. Теперь рассмотрим отрезки $MP$ и $NQ$. Отрезок $MP$ соединяет середину $M$ ребра $AB$ и середину $P$ ребра $A_1 B_1$. Так как $ABB_1A_1$ — боковая грань призмы (прямоугольник), $MP$ является отрезком, соединяющим середины параллельных сторон $AB$ и $A_1 B_1$. Следовательно, $MP \parallel AA_1$ и $MP = AA_1$. Аналогично, $NQ \parallel AA_1$ и $NQ = AA_1$. Поскольку $AA_1 = 1$, то $MP = NQ = 1$.

5. Сечение представляет собой четырехугольник $MNQP$. У этого четырехугольника $MN = PQ = \frac{1}{2}$ и $MN \parallel PQ$. Это означает, что $MNQP$ является параллелограммом.

6. Для определения типа параллелограмма рассмотрим угол между его смежными сторонами $MN$ и $MP$. Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, $AA_1 \perp (ABC)$. Так как $MP \parallel AA_1$, то $MP$ также перпендикулярен плоскости $(ABC)$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости $(ABC)$. Из этого следует, что $MP \perp MN$.

7. Таким образом, параллелограмм $MNQP$ с перпендикулярными смежными сторонами является прямоугольником. Длины его сторон равны $MN = \frac{1}{2}$ и $MP = 1$.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник $MNQP$.

Найти его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S = MN \cdot MP$

Подставим значения длин сторон:

$S = \frac{1}{2} \cdot 1$

$S = \frac{1}{2}$

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{1}{2} $.