Номер 30, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $D$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра призмы равны $a = 1$. Сечение проходит через вершины $A$, $D$ и $D_1$.

Перевод в СИ: Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты производятся в относительных единицах. Длина ребра $a = 1$ (усл. ед.).

Найти: Площадь сечения $S$.

Решение: Сечение, проходящее через вершины $A$, $D$ и $D_1$, является плоскостью, содержащей эти три точки. Поскольку $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами правильной призмы, они параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований. Точки $A$ и $D$ лежат в одном основании призмы (например, в нижнем основании $ABCDEF$). Точка $D_1$ лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и является вершиной над $D$. Так как $A_1$ является вершиной над $A$ и $AA_1 \parallel DD_1$ (оба перпендикулярны основаниям), то плоскость, проходящая через $A$, $D$, $D_1$, также должна проходить через $A_1$. Таким образом, сечение является четырехугольником $ADD_1A_1$. Поскольку боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, и $AD$ является диагональю основания, то грани $ADD_1A_1$ являются прямоугольниками (это следует из того, что $AA_1 \perp AD$ и $DD_1 \perp AD$). Следовательно, сечение $ADD_1A_1$ - это прямоугольник.

Для нахождения площади этого прямоугольника $S_{ADD_1A_1}$ необходимо определить длины его смежных сторон: $AD$ и $DD_1$.

1. Длина ребра $DD_1$: По условию, все ребра призмы равны $1$. Следовательно, $DD_1 = 1$.

2. Длина отрезка $AD$: Отрезок $AD$ является большой (главной) диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, который лежит в основании призмы. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина главной диагонали, соединяющей противоположные вершины, равна $2a$. Поскольку сторона основания призмы $a = 1$, то длина диагонали $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Площадь прямоугольника $S_{ADD_1A_1}$ вычисляется как произведение длин его смежных сторон: $S_{ADD_1A_1} = AD \cdot DD_1$ Подставим найденные значения: $S_{ADD_1A_1} = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2