Номер 36, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $D$, $F$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1, то есть длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $F$ и $A_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица).

(Единицы измерения не указаны, поэтому расчет ведется в условных единицах).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Сечение проходит через три вершины: $D$, $F$ (лежащие в нижнем основании) и $A_1$ (лежащая в верхнем основании). Поскольку эти три точки не лежат на одной прямой, они однозначно определяют плоскость. Следовательно, сечением является треугольник $DFA_1$.

Ответ: Сечением является треугольник $DFA_1$.

Найдите его площадь:

Для нахождения площади треугольника $DFA_1$ необходимо вычислить длины его сторон.

1. Длина стороны $DF$:

Вершины $D$ и $F$ лежат в основании правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Отрезок $DF$ является малой диагональю этого шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Следовательно, $DF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $FA_1$:

Рассмотрим прямоугольник $AFF_1A_1$, который является боковой гранью призмы. Сторона $AF$ является стороной основания, поэтому $AF=1$. Сторона $FF_1$ является высотой призмы, поэтому $FF_1=1$. Отрезок $FA_1$ является диагональю этого прямоугольника.

По теореме Пифагора для $\triangle AFF_1A_1$ (или $\triangle FFA_1$): $FA_1 = \sqrt{AF^2 + FF_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $DA_1$:

Рассмотрим прямоугольник $AA_1D_1D$. Сторона $AD$ является большой диагональю основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

Следовательно, $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Сторона $AA_1$ является высотой призмы, $AA_1=1$. Отрезок $DA_1$ является диагональю этого прямоугольника.

По теореме Пифагора для $\triangle ADA_1$: $DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $DFA_1$: $DF = \sqrt{3}$, $FA_1 = \sqrt{2}$, $DA_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$DF^2 + FA_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.

$DA_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $DF^2 + FA_1^2 = DA_1^2$, треугольник $DFA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

$S_{DFA_1} = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot FA_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.