Номер 29, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

• Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
• Длина всех ребер $a = 1$. Это означает, что сторона основания $AB=1$ и высота призмы $AA_1=1$.
• Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и $C_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина, не требует перевода, можно считать в условных единицах длины).

Найти:

Площадь сечения $S_{ACC_1}$.

Решение:

Сечение, проходящее через вершины $A$, $C$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ACC_1$.

1. Определим длины сторон треугольника $ACC_1$.

Сторона $CC_1$ является боковым ребром призмы. Согласно условию, длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, $CC_1 = 1$.

Сторона $AC$ является диагональю основания призмы. Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Для нахождения длины диагонали $AC$ рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в основании. Это равнобедренный треугольник с $AB = BC = 1$. Угол при вершине $B$ в правильном шестиугольнике равен:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Для шестиугольника ($n=6$) этот угол равен:

$\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ для нахождения длины стороны $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, подставляем это значение:

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2) = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$.

Сторона $AC_1$ является диагональю, соединяющей вершину $A$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Треугольник $ACC_1$ является прямоугольным, поскольку ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $C$, в частности, прямой $AC$. Таким образом, угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

2. Вычислим площадь сечения $ACC_1$.

Поскольку треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с катетами $AC$ и $CC_1$, его площадь вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника:

$S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CC_1$

$S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1$

$S_{ACC_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.