Номер 22, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A, B_1$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B_1$, $C_1$.

Перевод данных в СИ:

Длина всех ребер $a = 1 \, \text{м}$.

Найти:

Площадь сечения $S_{AB_1C_1}$.

Решение:

Для того чтобы изобразить сечение, следует соединить данные вершины. Сечение, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и $C_1$, является треугольником $AB_1C_1$. Поскольку призма правильная, ее основания (треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) являются прямоугольниками. В данном случае, так как все ребра призмы равны 1, боковые грани являются квадратами со стороной 1.

Определим длины сторон треугольника $AB_1C_1$:

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. По условию, все ребра равны 1, следовательно, $B_1C_1 = a = 1$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой квадрат со стороной $a = 1$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Подставляя $a = 1$, получаем $AB_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань также является квадратом со стороной $a = 1$. Аналогично, $AC_1 = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным треугольником со сторонами $AB_1 = \sqrt{2}$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и основанием $B_1C_1 = 1$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой площади через основание и высоту. Пусть $M$ – середина основания $B_1C_1$. Тогда $AM$ – высота треугольника $AB_1C_1$, проведенная к основанию $B_1C_1$. Длина отрезка $B_1M = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB_1$ (с прямым углом при вершине $M$). По теореме Пифагора: $AM^2 + B_1M^2 = AB_1^2$ $AM^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2$ $AM^2 + \frac{1}{4} = 2$ $AM^2 = 2 - \frac{1}{4}$ $AM^2 = \frac{8 - 1}{4}$ $AM^2 = \frac{7}{4}$ $AM = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $AB_1C_1$ по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot AM$ $S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}$ $S_{AB_1C_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{4}$ квадратных единиц.