Номер 20, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через ребро $SA$ и перпендикулярное основанию $ABCDEF$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = AB = 1$.

Боковое ребро $l = SA = 2$.

Сечение проходит через ребро $SA$ и перпендикулярно основанию $ABCDEF$.

Перевод в систему СИ:

$a = 1$ м

$l = 2$ м

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через ребро SA и перпендикулярное основанию $ABCDEF$.

Пусть $O$ – центр основания правильной шестиугольной пирамиды. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды, и $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через ребро $SA$. По условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Если плоскость перпендикулярна другой плоскости, то она содержит прямую, перпендикулярную этой другой плоскости. Поскольку прямая $SO$ перпендикулярна основанию $ABCDEF$, то она должна лежать в плоскости сечения $\alpha$.

Таким образом, плоскость сечения содержит точки $S$, $A$ и $O$. Следовательно, сечением является треугольник $SOA$.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. Поэтому $OA = a = 1$.

Треугольник $SOA$ является прямоугольным, так как прямая $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а отрезок $OA$ лежит в этой плоскости, значит $SO \perp OA$.

Гипотенуза $SA$ данного треугольника является боковым ребром пирамиды, $SA = l = 2$.

Ответ: Сечением является прямоугольный треугольник $SOA$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника $SOA$ нам необходимо найти длины его катетов $OA$ и $SO$.

Катет $OA = a = 1$ (как радиус описанной окружности для правильного шестиугольника).

Катет $SO$ является высотой пирамиды $h$. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $SOA$:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

Подставляем известные значения:

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Итак, высота пирамиды $SO = \sqrt{3}$.

Площадь прямоугольного треугольника $SOA$ вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{SOA} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot SO$

$S_{SOA} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3}$

$S_{SOA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{3}}{2}$.