Номер 27, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C_1$ и середину ребра $BC$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $C_1$ и середину ребра $BC$, обозначим ее $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (величина является безразмерной или выражена в условных единицах длины).

Найти:

Площадь сечения $S_{AC_1M}$.

Решение:

Изображение сечения

Сечением, проходящим через точки $A$, $C_1$ и $M$ (середину $BC$), является треугольник $AC_1M$.

Нахождение площади сечения

Для нахождения площади треугольника $AC_1M$ вычислим длины его сторон.

1. Найдем длину отрезка $AM$:

Основание призмы - правильный треугольник $ABC$, то есть равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Точка $M$ - середина ребра $BC$. Следовательно, $AM$ является медианой и высотой в равностороннем треугольнике $ABC$.

Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя $a=1$, получаем $AM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем длину отрезка $MC_1$:

Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. $CC_1$ - боковое ребро призмы, перпендикулярное основанию $ABC$. Таким образом, треугольник $MCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Длины катетов: $CC_1 = a = 1$. $MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $MCC_1$:

$MC_1^2 = MC^2 + CC_1^2$

$MC_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

$MC_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Найдем длину отрезка $AC_1$:

Рассмотрим грань $ACC_1A_1$. $CC_1$ - боковое ребро призмы, перпендикулярное основанию $ABC$. Таким образом, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Длины катетов: $AC = a = 1$. $CC_1 = a = 1$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC_1 = \sqrt{2}$.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $AC_1M$: $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $MC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $AC_1 = \sqrt{2}$.

Проверим, является ли треугольник $AC_1M$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого возведем длины сторон в квадрат:

$AM^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

$MC_1^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$AC_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Суммируем квадраты двух меньших сторон:

$AM^2 + MC_1^2 = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Мы видим, что $AM^2 + MC_1^2 = AC_1^2$. Это означает, что треугольник $AC_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{AC_1M} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MC_1$

$S_{AC_1M} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения $S = \frac{\sqrt{15}}{8}$.