Номер 28, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1. Пусть $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $A_1C_1$. Обозначим середину ребра $A_1C_1$ как $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение проходит через три точки: вершину $A$ нижнего основания $ABC$, вершину $B_1$ верхнего основания $A_1B_1C_1$ и точку $M$ – середину ребра $A_1C_1$ верхнего основания. Эти три точки не лежат на одной прямой и определяют плоскость, которая пересекает грани призмы.

1. Отрезок $AB_1$ соединяет вершину $A$ с вершиной $B_1$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $AA_1B_1B$ (которая является квадратом со стороной 1).

2. Отрезок $B_1M$ соединяет вершину $B_1$ с серединой $M$ ребра $A_1C_1$. Оба конца отрезка лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$.

3. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ ребра $A_1C_1$. Этот отрезок является частью плоскости сечения.

Таким образом, сечение является треугольником $AMB_1$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $AMB_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $AMB_1$ определим длины его сторон:

1. Длина стороны $AB_1$: Отрезок $AB_1$ является диагональю квадрата $AA_1B_1B$ со стороной 1 (так как все ребра призмы равны 1).

$AB_1 = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Длина стороны $B_1M$: Треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным (равносторонним) со стороной 1. Точка $M$ – середина стороны $A_1C_1$. Следовательно, $B_1M$ является медианой, а также высотой в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$.

$B_1M = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot A_1B_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Длина стороны $AM$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1M$. Угол при вершине $A_1$ прямой, так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $A_1B_1C_1$. Длина $AA_1 = 1$. Длина $A_1M$ равна половине длины ребра $A_1C_1$, то есть $A_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь, когда известны длины всех сторон треугольника $AMB_1$: $AB_1 = \sqrt{2}$, $B_1M = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $AM = \frac{\sqrt{5}}{2}$, проверим, не является ли он прямоугольным.

Проверим теорему Пифагора:

$B_1M^2 + AM^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$AB_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Так как $B_1M^2 + AM^2 = AB_1^2$, то треугольник $AMB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{AMB_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1M \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{15}}{8}$.