Номер 32, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Сечение проходит через середины рёбер $AB$, $BC$, и $A_1B_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребра задана числом $1$ без указания единиц, будем использовать $a=1$ в расчетах. Площадь будет выражена в квадратных единицах измерения.

Найти:

1. Описание сечения.

2. Площадь сечения $S$.

Решение

Обозначим середины рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ как $M_1$, $M_2$ и $M_3$ соответственно.

Изобразите сечение

1. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат в основании призмы $ABCDEF$. Отрезок $M_1M_2$ является одной из сторон сечения. Поскольку $M_1$ и $M_2$ — середины смежных сторон правильного шестиугольника, отрезок $M_1M_2$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $M_1M_2$ параллелен диагонали $AC$ и его длина равна половине длины этой диагонали.

2. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Таким образом, длина $M_1M_2 = \$ \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \$$.

3. Отрезок $M_1M_3$ соединяет середину ребра $AB$ с серединой ребра $A_1B_1$. Так как $AA_1$ и $BB_1$ являются боковыми рёбрами призмы, параллельными оси призмы и перпендикулярными основаниям, то отрезок $M_1M_3$ также параллелен оси призмы и перпендикулярен плоскостям оснований. Его длина равна высоте призмы, которая в данном случае равна длине ребра $a=1$. То есть, $M_1M_3 = 1$.

4. Проведем из точки $M_2$ отрезок $M_2M_4$, параллельный $M_1M_3$. Так как $M_2M_4$ параллелен $M_1M_3$ и перпендикулярен основанию, точка $M_4$ будет лежать на верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и будет являться серединой ребра $B_1C_1$. Длина отрезка $M_2M_4$ также равна $1$.

5. Отрезок $M_3M_4$ соединяет середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ верхнего основания. По аналогии с $M_1M_2$, длина $M_3M_4 = \$ \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \$$. Также $M_3M_4$ параллелен $A_1C_1$ и, следовательно, параллелен $M_1M_2$.

6. Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник $M_1M_2M_4M_3$. У него стороны $M_1M_2$ и $M_3M_4$ параллельны и равны по длине ($ \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $). Стороны $M_1M_3$ и $M_2M_4$ также параллельны и равны по длине ($1$). Кроме того, поскольку $M_1M_3$ перпендикулярен основанию, содержащему $M_1M_2$, угол между смежными сторонами $M_1M_2$ и $M_1M_3$ равен $90^\circ$. Следовательно, сечение $M_1M_2M_4M_3$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник с вершинами в серединах рёбер $AB$, $BC$, $B_1C_1$ и $A_1B_1$ (обозначенные как $M_1, M_2, M_4, M_3$ соответственно).

Найдите его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его смежных сторон.

Длины сторон прямоугольника: $M_1M_2$ и $M_1M_3$.

Мы нашли, что длина $M_1M_2 = \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $.

Мы нашли, что длина $M_1M_3 = 1 \$ $.

Следовательно, площадь сечения $S = M_1M_2 \times M_1M_3$.

$S = \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 \$

$S = \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $

Ответ: Площадь сечения составляет $ \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $ квадратных единиц.