Номер 38, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $F$, $B$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

длина всех ребер $a = 1$ (условных единиц длины).

сечение проходит через вершины $F$, $B$, $C_1$.

Найти:

площадь сечения $S_{FBC_1}$.

Решение:

Сечение, проходящее через три заданные вершины $F$, $B$ и $C_1$, является треугольником $FBC_1$.

Для нахождения площади этого треугольника необходимо определить длины его сторон.

1. Длина стороны $FB$:

Вершины $F$ и $B$ лежат в одном основании $ABCDEF$. Отрезок $FB$ является короткой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$.

$FB = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $BC_1$:

Вершины $B$ и $C_1$ лежат в разных плоскостях: $B$ в нижнем основании, $C_1$ в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Катеты этого треугольника - это сторона основания $BC$ и боковое ребро $CC_1$ (высота призмы). По условию, все ребра призмы равны 1.

$BC = 1$ (сторона основания).

$CC_1 = 1$ (высота призмы).

По теореме Пифагора для $\Delta BCC_1$:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $FC_1$:

Вершины $F$ и $C_1$ также лежат в разных плоскостях. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FCC_1$. Катеты этого треугольника - это большая диагональ основания $FC$ и боковое ребро $CC_1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $2a$.

$FC = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

$CC_1 = 1$.

По теореме Пифагора для $\Delta FCC_1$:

$FC_1^2 = FC^2 + CC_1^2$

$FC_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$FC_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $FBC_1$ имеют длины $FB=\sqrt{3}$, $BC_1=\sqrt{2}$ и $FC_1=\sqrt{5}$.

4. Определение типа треугольника $FBC_1$:

Проверим, является ли треугольник $FBC_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$FB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$BC_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$FC_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $FB^2 + BC_1^2 = 3 + 2 = 5$, и $FC_1^2 = 5$, то $FB^2 + BC_1^2 = FC_1^2$. Это означает, что треугольник $FBC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ (напротив гипотенузы $FC_1$).

5. Вычисление площади треугольника $FBC_1$:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Катетами являются стороны $FB$ и $BC_1$.

$S_{FBC_1} = \frac{1}{2} \cdot FB \cdot BC_1$

$S_{FBC_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$

$S_{FBC_1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.