Номер 1, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BB_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину A и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Изображение сечения:

Для удобства расчетов расположим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина A находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребра куба параллельны осям координат. Длина ребра куба равна $a=1$. Тогда координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Сечение проходит через вершину A и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$. Обозначим эти середины как M и N соответственно.

• Середина ребра $BB_1$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,1/2)$.
• Середина ребра $DD_1$: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,1/2)$.

Плоскость сечения проходит через точки A, M, N. Найдем уравнение этой плоскости в виде $Ax+By+Cz=D$.

Поскольку точка A$(0,0,0)$ лежит в плоскости, то $D=0$. Уравнение принимает вид $Ax+By+Cz=0$.

Подставим координаты точки M$(1,0,1/2)$: $A(1) + B(0) + C(1/2) = 0 \Rightarrow A + C/2 = 0 \Rightarrow 2A + C = 0$.

Подставим координаты точки N$(0,1,1/2)$: $A(0) + B(1) + C(1/2) = 0 \Rightarrow B + C/2 = 0 \Rightarrow 2B + C = 0$.

Из полученных уравнений следует, что $2A = -C$ и $2B = -C$. Отсюда $A=B=-C/2$.

Для простоты выберем $C = -2$. Тогда $A=1$ и $B=1$.

Уравнение плоскости сечения: $x+y-2z=0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба. Рассмотрим ребро $CC_1$. Точки на этом ребре имеют координаты $(1,1,z)$ при $0 \le z \le 1$.

Подставим эти координаты в уравнение плоскости: $1+1-2z=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$.

Таким образом, плоскость пересекает ребро $CC_1$ в точке с координатами $(1,1,1)$, что соответствует вершине $C_1$.

Итак, сечение куба является четырехугольником $AMC_1N$ с вершинами:

• $A = (0,0,0)$
• $M = (1,0,1/2)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $N = (0,1,1/2)$

Чтобы определить тип этого четырехугольника, вычислим векторы, образующие его стороны:

• $\vec{AM} = M-A = (1-0, 0-0, 1/2-0) = (1,0,1/2)$
• $\vec{NC_1} = C_1-N = (1-0, 1-1, 1-1/2) = (1,0,1/2)$
• $\vec{AN} = N-A = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$
• $\vec{MC_1} = C_1-M = (1-1, 1-0, 1-1/2) = (0,1,1/2)$

Поскольку $\vec{AM} = \vec{NC_1}$ и $\vec{AN} = \vec{MC_1}$, противоположные стороны четырехугольника $AMC_1N$ попарно параллельны и равны по длине, что означает, что $AMC_1N$ является параллелограммом.

Вычислим длины смежных сторон этого параллелограмма:

• $|AM| = \sqrt{1^2+0^2+(1/2)^2} = \sqrt{1+0+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
• $|AN| = \sqrt{0^2+1^2+(1/2)^2} = \sqrt{0+1+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Так как смежные стороны $AM$ и $AN$ имеют равную длину, параллелограмм $AMC_1N$ является ромбом.

Для изображения сечения, представьте куб. Соедините вершину A с серединой M ребра $BB_1$ и с серединой N ребра $DD_1$. Затем соедините M с вершиной $C_1$ и N с вершиной $C_1$. Полученный ромб $AMC_1N$ является искомым сечением.

Ответ: Сечение представляет собой ромб $AMC_1N$, где M – середина ребра $BB_1$, N – середина ребра $DD_1$, а $C_1$ – вершина куба.

2.Нахождение его площади:

Площадь ромба можно вычислить как половину произведения его диагоналей.

Диагонали ромба $AMC_1N$ это $AC_1$ и $MN$.

• Длина диагонали $AC_1$: Точки $A=(0,0,0)$ и $C_1=(1,1,1)$. $|AC_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
• Длина диагонали $MN$: Точки $M=(1,0,1/2)$ и $N=(0,1,1/2)$. $|MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.

Площадь ромба $S = \frac{1}{2} \cdot |AC_1| \cdot |MN|$.

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Для проверки, можно также использовать формулу площади параллелограмма через векторное произведение смежных сторон: $S = |\vec{AM} \times \vec{AN}|$.

Векторы: $\vec{AM} = (1,0,1/2)$ и $\vec{AN} = (0,1,1/2)$.

Векторное произведение:

$\vec{AM} \times \vec{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$

$\vec{AM} \times \vec{AN} = -1/2 \mathbf{i} - 1/2 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} = (-1/2, -1/2, 1)$.

Модуль векторного произведения (площадь):

$S = \sqrt{(-1/2)^2 + (-1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1} = \sqrt{1/2 + 1} = \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Результаты совпадают.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.