Номер 8, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A_1$ и середины ребер $AB$, $C_1D_1$. Найдите его площадь.

9. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, т.е. длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через:

- вершину $A_1$.

- середину ребра $AB$ (обозначим ее $M$).

- середину ребра $C_1D_1$ (обозначим ее $N$).

Система СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ условная единица длины. Например, если считать в метрах, $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

1. Описание построения сечения.

2. Площадь сечения.

Решение

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба и заданных точек будут:

- Вершины нижнего основания: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$.

- Вершины верхнего основания: $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$.

Заданные точки сечения:

- Вершина $A_1=(0,0,1)$.

- Середина ребра $AB$: $M = \left(\frac{0+1}{2}, 0, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

- Середина ребра $C_1D_1$: $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A_1$ и середины ребер $AB, C_1D_1$:

Сечение проходит через три заданные точки $A_1(0,0,1)$, $M(1/2,0,0)$ и $N(1/2,1,1)$. Эти три точки задают плоскость сечения.

1. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Отметьте вершину $A_1$.

3. На ребре $AB$ отметьте его середину $M$.

4. На ребре $C_1D_1$ отметьте его середину $N$.

5. Соедините точки $A_1$ и $M$. Этот отрезок $A_1M$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

6. Соедините точки $A_1$ и $N$. Этот отрезок $A_1N$ лежит в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

7. Для определения полных границ сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через $A_1, M, N$. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz=D$.

- Подставим $A_1(0,0,1)$: $A(0)+B(0)+C(1)=D \Rightarrow C=D$.

- Подставим $M(1/2,0,0)$: $A(1/2)+B(0)+C(0)=D \Rightarrow A/2=D \Rightarrow A=2D$.

- Подставим $N(1/2,1,1)$: $A(1/2)+B(1)+C(1)=D \Rightarrow (2D)(1/2)+B+D=D \Rightarrow D+B+D=D \Rightarrow B=-D$.

Принимая $D=1$ (можно принять любое ненулевое значение), получаем $A=2, B=-1, C=1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x - y + z = 1$.

8. Найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Проверяя все 12 ребер, обнаружим, что плоскость пересекает ребро $BC$ (где $x=1, z=0$, $0 \le y \le 1$): $2(1) - y + 0 = 1 \Rightarrow 2 - y = 1 \Rightarrow y = 1$. Точка пересечения — $C(1,1,0)$. Других точек пересечения с ребрами внутри их диапазонов не будет.

9. Таким образом, сечение является четырехугольником, образованным точками $A_1$, $M$, $C$ и $N$. Соединим $M$ и $C$. Этот отрезок $MC$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединим $C$ и $N$. Этот отрезок $CN$ соединяет точку на нижней грани с точкой на верхней грани.

В результате сечение куба представляет собой четырехугольник $A_1MCN$.

Определим тип четырехугольника $A_1MCN$. Найдем векторы его сторон:

- Вектор $A_1M = M - A_1 = (1/2-0, 0-0, 0-1) = (1/2, 0, -1)$.

- Вектор $NC = C - N = (1-1/2, 1-1, 0-1) = (1/2, 0, -1)$.

Так как векторы $A_1M$ и $NC$ равны, то стороны $A_1M$ и $NC$ параллельны и равны по длине. Это означает, что $A_1MCN$ — параллелограмм.

Найдем длины смежных сторон $A_1M$ и $A_1N$:

- Длина стороны $A_1M$: $|A_1M| = \sqrt{(1/2)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

- Вектор $A_1N = N - A_1 = (1/2-0, 1-0, 1-1) = (1/2, 1, 0)$.

- Длина стороны $A_1N$: $|A_1N| = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $A_1MCN$ является параллелограммом и две его смежные стороны $A_1M$ и $A_1N$ равны по длине, то это ромб.

Ответ: Сечение является ромбом $A_1MCN$.

Найдите его площадь:

Площадь ромба можно найти как половину произведения длин его диагоналей.

Диагонали ромба $A_1MCN$ это $A_1C$ и $MN$.

- Длина диагонали $A_1C$: $A_1=(0,0,1)$, $C=(1,1,0)$.

$d_1 = |A_1C| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

- Длина диагонали $MN$: $M=(1/2,0,0)$, $N=(1/2,1,1)$.

$d_2 = |MN| = \sqrt{(1/2-1/2)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Площадь ромба $S_{A_1MCN} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.