Номер 14, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $BB_1$, отстоящую от вершины $B$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.

Сечение проходит через:

• Точку $P_1$ — середину ребра $AA_1$.

• Точку $P_2$ — середину ребра $CC_1$.

• Точку $P_3$ — на ребре $BB_1$, отстоящую от вершины $B$ на 0.25.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины), так как куб единичный.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Определение координат вершин куба:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $D(0,0,0)$.

Вершины куба с ребром $a=1$ будут:

• Нижняя грань ($z=0$): $D(0,0,0)$, $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$.

• Верхняя грань ($z=1$): $D_1(0,0,1)$, $A_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(1,0,1)$.

2.Определение координат точек, через которые проходит сечение:

• Точка $P_1$ — середина ребра $AA_1$. Координаты $A(0,1,0)$ и $A_1(0,1,1)$.

  $P_1 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

• Точка $P_2$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $C(1,0,0)$ и $C_1(1,0,1)$.

  $P_2 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.

• Точка $P_3$ — на ребре $BB_1$, отстоящая от вершины $B$ на 0.25. Координаты $B(1,1,0)$.

  $P_3 = (1,1,0+0.25) = (1,1,0.25)$.

3.Определение уравнения плоскости сечения:

Для определения уравнения плоскости $Ax+By+Cz=D$ используем три точки $P_1, P_2, P_3$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

• Вектор $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (1-0, 0-1, 0.5-0.5) = (1, -1, 0)$.

• Вектор $\vec{P_1P_3} = P_3 - P_1 = (1-0, 1-1, 0.25-0.5) = (1, 0, -0.25)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-0.25) - 0) - \mathbf{j}((1)(-0.25) - 0) + \mathbf{k}((1)(0) - (-1)(1)) = (0.25, 0.25, 1)$.

Для удобства вычислений умножим вектор нормали на 4: $\vec{n'} = (1, 1, 4)$.

Уравнение плоскости имеет вид $1 \cdot x + 1 \cdot y + 4 \cdot z = D$.

Подставим координаты точки $P_1(0,1,0.5)$ для нахождения $D$:

$0 + 1 + 4(0.5) = D \Rightarrow 1 + 2 = D \Rightarrow D = 3$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x+y+4z=3$.

4.Нахождение всех вершин сечения:

Мы уже имеем три точки сечения $P_1(0,1,0.5)$, $P_2(1,0,0.5)$, $P_3(1,1,0.25)$. Необходимо найти точки пересечения плоскости $x+y+4z=3$ с другими ребрами куба.

Рассмотрим ребро $DD_1$. Его координаты $x=0, y=0$. Подставим их в уравнение плоскости:

$0+0+4z=3 \Rightarrow z=0.75$.

Это дает четвертую вершину сечения $P_4(0,0,0.75)$.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $P_1(0,1,0.5)$, $P_3(1,1,0.25)$, $P_2(1,0,0.5)$, $P_4(0,0,0.75)$.

5.Определение типа многоугольника сечения:

Проверим параллельность противоположных сторон:

• Вектор $\vec{P_1P_3} = (1, 0, -0.25)$.

• Вектор $\vec{P_4P_2} = (1-0, 0-0, 0.5-0.75) = (1, 0, -0.25)$.

Так как $\vec{P_1P_3} = \vec{P_4P_2}$, то $P_1P_3 \parallel P_4P_2$ и $|P_1P_3| = |P_4P_2|$.

• Вектор $\vec{P_1P_4} = (0-0, 0-1, 0.75-0.5) = (0, -1, 0.25)$.

• Вектор $\vec{P_3P_2} = (1-1, 0-1, 0.5-0.25) = (0, -1, 0.25)$.

Так как $\vec{P_1P_4} = \vec{P_3P_2}$, то $P_1P_4 \parallel P_3P_2$ и $|P_1P_4| = |P_3P_2|$.

Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырехугольник $P_1P_3P_2P_4$ является параллелограммом.

Найдем длины смежных сторон:

$|P_1P_3| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

$|P_1P_4| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

Так как смежные стороны параллелограмма равны, сечение является ромбом.

6.Вычисление площади ромба:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Найдем длины диагоналей:

• Диагональ $d_1 = |P_1P_2|$. Координаты $P_1(0,1,0.5)$ и $P_2(1,0,0.5)$.

  $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

• Диагональ $d_2 = |P_3P_4|$. Координаты $P_3(1,1,0.25)$ и $P_4(0,0,0.75)$.

  $d_2 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (0.75-0.25)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{1+1+0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

Площадь сечения $S$:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1.5 = \frac{1.5\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Примечание: Задача также требует изобразить сечение, что невозможно выполнить в текстовом формате.