Номер 19, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вершины А на 0,75. Найдите его площадь.

19. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AB, C_1 D_1$ и точку на ребре $CD$, отстоящую от вершины $D$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a=1$.

Сечение проходит через три точки:

• $M$ - середина ребра $AB$.
• $N$ - середина ребра $C_1D_1$.
• $P$ - точка на ребре $CD$, такая что $DP = 0.25$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $D$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $DC$ лежит вдоль оси $Ox$, ребро $DA$ вдоль оси $Oy$, а ребро $DD_1$ вдоль оси $Oz$. Поскольку куб единичный, длина каждого ребра равна $1$.

Координаты вершин куба:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (1,0,0)$
• $A = (0,1,0)$
• $B = (1,1,0)$
• $D_1 = (0,0,1)$
• $C_1 = (1,0,1)$
• $A_1 = (0,1,1)$
• $B_1 = (1,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

• $M$ - середина ребра $AB$. Координаты $A(0,1,0)$ и $B(1,1,0)$.
  $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$
• $N$ - середина ребра $C_1D_1$. Координаты $C_1(1,0,1)$ и $D_1(0,0,1)$.
  $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$
• $P$ - точка на ребре $CD$, отстоящая от $D$ на $0.25$. Ребро $CD$ лежит на оси $Ox$.
  $P = (0.25, 0, 0)$

Таким образом, точки, через которые проходит сечение, имеют координаты:

$M = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$

$N = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$

$P = \left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$

Для определения сечения найдем точки пересечения плоскости, проходящей через $M, N, P$, с ребрами куба.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $M, N, P$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{PM} = M - P = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}, 1 - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, 1, 0\right)$

$\vec{PN} = N - P = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}, 0 - 0, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, 0, 1\right)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{PM} \times \vec{PN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - \left(\frac{1}{4} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{4}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{1}{4} \cdot 0 - 1 \cdot \frac{1}{4}\right)\mathbf{k} = \mathbf{i} - \frac{1}{4}\mathbf{j} - \frac{1}{4}\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n} = \left(1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)$. Для удобства умножим на 4: $\vec{n'} = (4, -1, -1)$.

Уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=4, B=-1, C=-1$.

$4x - y - z + D = 0$.

Используем точку $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$ для нахождения $D$:

$4\left(\frac{1}{4}\right) - 0 - 0 + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$.

Уравнение плоскости сечения: $4x - y - z - 1 = 0$.

Изобразить сечение:

Найдем другие точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• На грани $ABCD$ ($z=0$): $4x - y - 1 = 0$.
  Точка $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$ находится на ребре $AB$. Точка $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$ находится на ребре $CD$.
  Отрезок $MP$ является частью сечения.
• На грани $CDD_1C_1$ ($y=0$): $4x - z - 1 = 0$.
  Точка $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$ находится на ребре $CD$. Точка $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$ находится на ребре $C_1D_1$.
  Отрезок $PN$ является частью сечения.
• На грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $4x - y - 1 - 1 = 0 \Rightarrow 4x - y - 2 = 0$.
  Точка $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$ находится на ребре $C_1D_1$.
  Найдем пересечение с ребром $A_1B_1$ ($y=1, 0 \le x \le 1$): $4x - 1 - 2 = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
  Получаем точку $Q = \left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$. Эта точка лежит на ребре $A_1B_1$.
  Отрезок $NQ$ является частью сечения.
• На грани $ABB_1A_1$ ($y=1$): $4x - 1 - z - 1 = 0 \Rightarrow 4x - z - 2 = 0$.
  Точка $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$ находится на ребре $AB$. Точка $Q\left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$ находится на ребре $A_1B_1$.
  Отрезок $QM$ является частью сечения.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MPNQ$ с вершинами:

$P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$, $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$, $Q\left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$, $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Проверим тип четырехугольника. Найдем векторы противоположных сторон:

$\vec{PM} = \left(\frac{1}{4}, 1, 0\right)$

$\vec{QN} = N - Q = \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{4}, 0 - 1, 1 - 1\right) = \left(-\frac{1}{4}, -1, 0\right)$

Векторы $\vec{PM}$ и $\vec{QN}$ не параллельны и не равны.

$\vec{PN} = \left(\frac{1}{4}, 0, 1\right)$

$\vec{MQ} = Q - M = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}, 1 - 1, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, 0, 1\right)$

Поскольку $\vec{PN} = \vec{MQ}$, четырехугольник $MPNQ$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $MPNQ$ с вершинами $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$, $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$, $Q\left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$, $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Найти его площадь:

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов, образующих его смежные стороны. Используем векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$.

Площадь $S = |\vec{PM} \times \vec{PN}|$

Мы уже вычислили $\vec{PM} \times \vec{PN} = \left(1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)$.

$S = \left|\left(1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)\right| = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2}$

$S = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{1 + \frac{2}{16}} = \sqrt{1 + \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{8+1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ квадратных единиц.