Номер 26, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Сечение проходит через середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ единица длины.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для удобства расчетов поместим куб в декартову систему координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребро $DC$ лежит вдоль оси $x$, $DA$ вдоль оси $y$, и $DD_1$ вдоль оси $z$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (1,0,0)$
• $B = (1,1,0)$
• $A = (0,1,0)$
• $D_1 = (0,0,1)$
• $C_1 = (1,0,1)$
• $B_1 = (1,1,1)$
• $A_1 = (0,1,1)$

Найдем координаты середин заданных ребер:

• Середина ребра $BC$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $CD$: $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.
• Середина ребра $DD_1$: $P = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 0, 0.5)$.

Сечение определяется плоскостью, проходящей через точки $M, N, P$. Найдем уравнение этой плоскости $Ax + By + Cz + D' = 0$.

Подставляем координаты точек:

• Для $M(1, 0.5, 0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow A + 0.5B + D' = 0$.
• Для $N(0.5, 0, 0)$: $A(0.5) + B(0) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow 0.5A + D' = 0$.
• Для $P(0, 0, 0.5)$: $A(0) + B(0) + C(0.5) + D' = 0 \Rightarrow 0.5C + D' = 0$.

Из второго уравнения: $A = -2D'$. Из третьего уравнения: $C = -2D'$.

Подставим $A = -2D'$ в первое уравнение:$-2D' + 0.5B + D' = 0 \Rightarrow -D' + 0.5B = 0 \Rightarrow 0.5B = D' \Rightarrow B = 2D'$.

Пусть $D' = -1$ (для упрощения). Тогда $A=2, B=-2, C=2$.Уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Ребра куба лежат в диапазоне $x, y, z \in [0,1]$.

• Пересечение с ребром $BB_1$ (где $x=1, y=1, z \in [0,1]$): $2(1) - 2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Точка $S = (1, 1, 0.5)$. Это середина ребра $BB_1$.
• Пересечение с ребром $A_1B_1$ (где $y=1, z=1, x \in [0,1]$): $2x - 2(1) + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 2 + 2 - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $Q = (0.5, 1, 1)$. Это середина ребра $A_1B_1$.
• Пересечение с ребром $A_1D_1$ (где $x=0, z=1, y \in [0,1]$): $2(0) - 2y + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow -2y + 2 - 1 = 0 \Rightarrow -2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $R = (0, 0.5, 1)$. Это середина ребра $A_1D_1$.

Таким образом, сечение является шестиугольником, вершинами которого являются:$M(1, 0.5, 0)$ (середина $BC$)$N(0.5, 0, 0)$ (середина $CD$)$P(0, 0, 0.5)$ (середина $DD_1$)$R(0, 0.5, 1)$ (середина $A_1D_1$)$Q(0.5, 1, 1)$ (середина $A_1B_1$)$S(1, 1, 0.5)$ (середина $BB_1$)

Это сечение представляет собой правильный шестиугольник, так как его плоскость перпендикулярна главной диагонали $AC_1$ куба и проходит через его центр.

Найдите его площадь

Для вычисления площади правильного шестиугольника необходимо найти длину его стороны. Возьмем, к примеру, сторону $MN$:

$l = MN = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}$

$l = \sqrt{(1 - 0.5)^2 + (0.5 - 0)^2 + (0 - 0)^2}$

$l = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$

Подставим значение $l = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$l^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ квадратных единиц.