Номер 33, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (длина ребра $a=1$).

Сечение проходит через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AD$ (обозначим эту точку как $M$).

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица, перевод в СИ не требуется, так как задача подразумевает безразмерную единицу).

Площадь сечения $S$.

Изобразите сечение

Для определения и изображения сечения куба, проходящего через заданные точки, воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Координаты заданных точек:

• Вершина $A_1$: $(0,0,1)$
• Вершина $C_1$: $(1,1,1)$
• Середина ребра $AD$: Точка $M$. Координаты вершины $A(0,0,0)$ и вершины $D(0,1,0)$. Следовательно, координаты $M$ будут $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

Плоскость сечения проходит через точки $A_1(0,0,1)$, $C_1(1,1,1)$ и $M(0, 0.5, 0)$. Для определения формы сечения необходимо найти все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

Определим уравнение плоскости. Векторы, лежащие в плоскости, это $\vec{MA_1} = (0-0, 0-0.5, 1-0) = (0, -0.5, 1)$ и $\vec{MC_1} = (1-0, 1-0.5, 1-0) = (1, 0.5, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $n$ находится как векторное произведение $\vec{MA_1} \times \vec{MC_1}$:

$n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.5 & 1 \\ 1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1 - 1 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(0.5) = (-1, 1, 0.5)$.

Уравнение плоскости имеет общий вид $Ax+By+Cz+D=0$. Подставим компоненты вектора нормали $n=(-1,1,0.5)$: $-x+y+0.5z+D=0$.

Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек, например $M(0, 0.5, 0)$: $-0 + 0.5 + 0.5 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-x+y+0.5z-0.5=0$. Для удобства расчетов умножим все члены на 2: $2x-2y-z+1=0$.

Теперь найдем остальные точки пересечения плоскости с ребрами куба:

• Отрезок $A_1M$ лежит в грани $ADD_1A_1$ (плоскость $x=0$), так как $A_1(0,0,1)$ и $M(0,0.5,0)$ имеют нулевую координату $x$.
• Отрезок $A_1C_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$), так как $A_1(0,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$ имеют координату $z=1$.
• Рассмотрим ребро $CD$. Его точки имеют координаты $(x,1,0)$ для $0 \le x \le 1$. Подставим $y=1$ и $z=0$ в уравнение плоскости: $2x - 2(1) - 0 + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Полученная точка $P(0.5, 1, 0)$ является серединой ребра $CD$.
• Проверим другие ребра:
  • Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1, 0 \le z \le 1$): $2(1) - 2(1) - z + 1 = 0 \Rightarrow 1 - z = 0 \Rightarrow z=1$. Это точка $C_1(1,1,1)$, уже известная вершина сечения.
  • Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1, 0 \le z \le 1$): $2(0) - 2(1) - z + 1 = 0 \Rightarrow -1 - z = 0 \Rightarrow z=-1$. Точка вне куба.
  • Ребро $AB$ ($y=0, z=0, 0 \le x \le 1$): $2x - 2(0) - 0 + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x=-0.5$. Точка вне куба.

Таким образом, сечение является четырехугольником $A_1MPC_1$ с вершинами в следующем порядке:

• $A_1(0,0,1)$
• $M(0,0.5,0)$ - середина ребра $AD$
• $P(0.5,1,0)$ - середина ребра $CD$
• $C_1(1,1,1)$

Стороны сечения: $A_1M$ лежит на грани $ADD_1A_1$; $MP$ лежит на грани $ABCD$; $PC_1$ лежит на грани $CDD_1C_1$; $C_1A_1$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $A_1MPC_1$, проходящий через вершины $A_1$, $C_1$, середину ребра $AD$ (точка $M$) и середину ребра $CD$ (точка $P$). Его сторонами являются отрезки $A_1M$, $MP$, $PC_1$ и $C_1A_1$.

Найдите его площадь

Сечение $A_1MPC_1$ является четырехугольником. Вычислим длины его сторон:

• Длина $A_1M = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $MP = \sqrt{(0.5-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Длина $PC_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $C_1A_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Заметим, что $MP$ и $A_1C_1$ параллельны друг другу. $MP$ соединяет середины $AD$ и $CD$, поэтому $MP$ параллелен $AC$ и $MP = AC/2$. Длина диагонали $AC$ в единичном квадрате равна $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, $MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина диагонали $A_1C_1$ в верхней грани также равна $\sqrt{2}$. Поскольку $A_1M = PC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, четырехугольник $A_1MPC_1$ является равнобедренной трапецией с параллельными основаниями $MP$ и $A_1C_1$, и равными боковыми сторонами $A_1M$ и $PC_1$.

Длины оснований: $b_1 = A_1C_1 = \sqrt{2}$, $b_2 = MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина боковой стороны: $l = A_1M = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Вычислим высоту $h$ равнобедренной трапеции по формуле $h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2}$.

Разность оснований, деленная пополам: $\frac{b_1-b_2}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Тогда высота $h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h$.

$S = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.