Номер 40, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a=1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $DD_1$. Обозначим середину ребра $DD_1$ как точку $M$.

Найти:

Изобразите сечение: Описание геометрической фигуры сечения.

Найдите его площадь: Площадь полученного сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра куба $AB$, $AD$, $AA_1$ направим по осям $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Заданные точки для построения сечения:

• Вершина $A=(0,0,0)$.
• Вершина $B_1=(1,0,1)$.
• Точка $M$ — середина ребра $DD_1$. Координаты $D=(0,1,0)$ и $D_1=(0,1,1)$. Тогда $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

Изобразите сечение

Для определения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $M(0,1,0.5)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, свободный член $D=0$. Уравнение примет вид: $Ax+By+Cz=0$.

Подставим координаты точки $B_1(1,0,1)$: $A(1)+B(0)+C(1)=0 \Rightarrow A+C=0 \Rightarrow C=-A$.

Подставим координаты точки $M(0,1,0.5)$: $A(0)+B(1)+C(0.5)=0 \Rightarrow B+0.5C=0 \Rightarrow B=-0.5C$.

Теперь подставим $C=-A$ в выражение для $B$: $B=-0.5(-A) \Rightarrow B=0.5A$.

Для удобства выберем значение $A$, например $A=2$. Тогда $C=-2$ и $B=1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x+y-2z=0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить все вершины сечения:

1. Плоскость сечения пересекает грань $ADD_1A_1$ (где $x=0$). Подставим $x=0$ в уравнение плоскости: $y-2z=0$. Эта линия проходит через точки $A(0,0,0)$ и $M(0,1,0.5)$. Следовательно, отрезок $AM$ является стороной сечения.

2. Плоскость сечения пересекает грань $ABB_1A_1$ (где $y=0$). Подставим $y=0$ в уравнение плоскости: $2x-2z=0 \Rightarrow x=z$. Эта линия проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Следовательно, отрезок $AB_1$ является стороной сечения.

3. Плоскость сечения пересекает грань $CDD_1C_1$ (где $y=1$). Подставим $y=1$ в уравнение плоскости: $2x+1-2z=0$. Найдем точки пересечения этой линии с ребрами грани $CDD_1C_1$:

• С ребром $DD_1$ ($x=0, y=1$): $1-2z=0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M(0,1,0.5)$, уже найденная.
• С ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x+1-2(1)=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Это новая точка $K(0.5,1,1)$. Следовательно, отрезок $MK$ является стороной сечения.

4. Плоскость сечения пересекает грань $A_1B_1C_1D_1$ (где $z=1$). Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $2x+y-2=0$. Найдем точки пересечения этой линии с ребрами грани $A_1B_1C_1D_1$:

• С ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x+1-2=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $K(0.5,1,1)$, уже найденная.
• С ребром $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x+0-2=0 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже найденная.

5. Отрезок, соединяющий точки $K(0.5,1,1)$ и $B_1(1,0,1)$, также является стороной сечения, поскольку обе точки лежат на грани $A_1B_1C_1D_1$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $AMKB_1$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $K(0.5,1,1)$ и $B_1(1,0,1)$.

Определим вид этого четырехугольника, изучив его стороны:

• Вектор $\vec{AM} = (0-0, 1-0, 0.5-0) = (0,1,0.5)$.
• Вектор $\vec{MK} = (0.5-0, 1-1, 1-0.5) = (0.5,0,0.5)$.
• Вектор $\vec{KB_1} = (1-0.5, 0-1, 1-1) = (0.5,-1,0)$.
• Вектор $\vec{B_1A} = (0-1, 0-0, 0-1) = (-1,0,-1)$.

Сравним параллельность сторон:

• $\vec{AM}$ и $\vec{KB_1}$: $(0,1,0.5)$ и $(0.5,-1,0)$ — не параллельны.
• $\vec{MK}$ и $\vec{B_1A}$: $(0.5,0,0.5)$ и $(-1,0,-1)$ — параллельны, так как $\vec{B_1A} = -2 \vec{MK}$. Значит, стороны $MK$ и $AB_1$ (так как $\vec{AB_1}=-\vec{B_1A}=(1,0,1)$) параллельны.

Найдем длины сторон:

• Длина $AB_1 = |\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
• Длина $MK = |\vec{MK}| = \sqrt{0.5^2+0^2+0.5^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Длина $AM = |\vec{AM}| = \sqrt{0^2+1^2+0.5^2} = \sqrt{1+0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $KB_1 = |\vec{KB_1}| = \sqrt{0.5^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку у четырехугольника $AMKB_1$ две стороны $AB_1$ и $MK$ параллельны, а две другие стороны $AM$ и $KB_1$ равны по длине, то это равнобочная трапеция.

Ответ: Сечение куба представляет собой равнобочную трапецию $AMKB_1$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $K(0.5,1,1)$ и $B_1(1,0,1)$.

Найдите его площадь

Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1$ и $b_2$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота трапеции.

Параллельные основания: $b_1 = AB_1 = \sqrt{2}$ и $b_2 = MK = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина боковой стороны $l = AM = KB_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Найдем высоту $h$ равнобочной трапеции. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на прямую, содержащую основание $AB_1$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AM$, ее проекцией $AH$ на основание $AB_1$ и высотой $h$.

Длина проекции $AH$ вычисляется как $AH = \frac{|AB_1 - MK|}{2}$ для равнобочной трапеции, если $AH$ лежит на продолжении меньшего основания. Или можно использовать тригонометрию или векторную проекцию.

Удобнее вычислить высоту $h$ через проекцию боковой стороны на основание $AB_1$. Для равнобочной трапеции, если спроецировать вершины $M$ и $K$ на прямую, содержащую $AB_1$, то длина отрезка от $A$ до проекции $M$ будет равна $x = \frac{b_1-b_2}{2}$ (если $b_1>b_2$).

В нашем случае $AB_1=\sqrt{2}$ и $MK=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выступ за края меньшего основания относительно большего основания: $x = \frac{AB_1 - MK}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $AM$, высотой $h$ и отрезком $x$:

$h^2 = AM^2 - x^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Тогда высота $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{4 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Площадь можно также найти, разбив трапецию на два треугольника диагональю $MB_1$ и суммировав их площади с использованием векторного произведения.

Площадь $\triangle AMB_1$: Векторы $\vec{AM}=(0,1,0.5)$ и $\vec{AB_1}=(1,0,1)$.

Векторное произведение $\vec{AM} \times \vec{AB_1} = (1\cdot 1 - 0.5\cdot 0, -(0\cdot 1 - 0.5\cdot 1), 0\cdot 0 - 1\cdot 1) = (1, 0.5, -1)$.

Площадь $\triangle AMB_1 = \frac{1}{2} ||(1, 0.5, -1)|| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2.25} = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75 = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle MKB_1$: Векторы $\vec{MK}=(0.5,0,0.5)$ и $\vec{MB_1}=(1-0, 0-1, 1-0.5) = (1,-1,0.5)$.

Векторное произведение $\vec{MK} \times \vec{MB_1} = (0\cdot 0.5 - 0.5\cdot (-1), -(0.5\cdot 0.5 - 0.5\cdot 1), 0.5\cdot (-1) - 0\cdot 1) = (0.5, 0.25, -0.5)$.

Площадь $\triangle MKB_1 = \frac{1}{2} ||(0.5, 0.25, -0.5)|| = \frac{1}{2} \sqrt{0.5^2 + 0.25^2 + (-0.5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{0.25 + 0.0625 + 0.25} = \frac{1}{2} \sqrt{0.5625} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375 = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения $S = \text{Площадь } \triangle AMB_1 + \text{Площадь } \triangle MKB_1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.