Номер 34, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Изобразите сечение

Нарисуйте единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметьте середину ребра $AB$ точкой $M$. Соедините вершины $A_1$ и $C_1$. Этот отрезок $A_1C_1$ является диагональю верхней грани. Соедините точку $A_1$ с точкой $M$. Этот отрезок $A_1M$ лежит во фронтальной грани $ABB_1A_1$. Для нахождения третьей точки сечения на нижней грани, следует учесть, что плоскость сечения, проходящая через $M$ и $C_1$, пересекает ребро $BC$. Точка пересечения, обозначенная как $N_1$, является серединой ребра $BC$ (ее координаты $(1, 1/2, 0)$). Соедините точку $M$ с точкой $N_1$. Этот отрезок $MN_1$ лежит в нижней грани $ABCD$. Соедините точку $N_1$ с точкой $C_1$. Этот отрезок $N_1C_1$ лежит в правой боковой грани $BCC_1B_1$. Полученное сечение - это четырехугольник $A_1MN_1C_1$. Он является трапецией, так как отрезки $MN_1$ и $A_1C_1$ параллельны.

Найдите его площадь

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$. Сечение проходит через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (точка $M$).

Найти: Площадь сечения.

Решение: Определим систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$
Координаты заданных точек: $A_1(0,0,1)$
$C_1(1,1,1)$
$M$ - середина ребра $AB$, поэтому $M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $A_1$, $C_1$, $M$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MA_1} = A_1 - M = \left(0 - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right)$
$\vec{MC_1} = C_1 - M = \left(1 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$
Вектор нормали $\vec{N}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MA_1}$ и $\vec{MC_1}$: $\vec{N} = \vec{MA_1} \times \vec{MC_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}\left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}\right) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) = \left(-1, 1, -\frac{1}{2}\right)$. Для удобства умножим $\vec{N}$ на $-2$: $\vec{N}' = (2, -2, 1)$. Уравнение плоскости: $2x - 2y + z + D = 0$. Подставим координаты точки $A_1(0,0,1)$: $2(0) - 2(0) + 1 + D = 0 \implies D = -1$. Уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + z - 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить вершины сечения. Уже известны $A_1$, $C_1$, $M$. Рассмотрим ребро $BC$. Оно задается как $x=1, z=0$ для $0 \le y \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 2y + 0 - 1 = 0 \implies 1 - 2y = 0 \implies y = \frac{1}{2}$. Получаем точку $N_1\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$, которая является серединой ребра $BC$. Таким образом, вершины сечения: $A_1(0,0,1)$, $M(1/2,0,0)$, $N_1(1,1/2,0)$, $C_1(1,1,1)$. Сечение является четырехугольником $A_1MN_1C_1$.

Определим тип четырехугольника $A_1MN_1C_1$. Вектор $\vec{MN_1} = N_1 - M = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$. Вектор $\vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 1) = (1, 1, 0)$. Поскольку $\vec{A_1C_1} = 2 \cdot \vec{MN_1}$, стороны $MN_1$ и $A_1C_1$ параллельны. Следовательно, сечение $A_1MN_1C_1$ является трапецией с основаниями $MN_1$ и $A_1C_1$.

Вычислим длины оснований трапеции: Длина $|MN_1| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина $|A_1C_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Для вычисления площади трапеции воспользуемся методом проекции. Спроецируем сечение на плоскость $xy$. Координаты проекций вершин: $A_1'(0,0)$, $M'(1/2,0)$, $N_1'(1,1/2)$, $C_1'(1,1)$. Проекция $A_1'M'N_1'C_1'$ также является трапецией. Длины оснований проекции совпадают с длинами оснований самой трапеции, так как они параллельны плоскости $xy$: $|M'N_1'| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $|A_1'C_1'| = \sqrt{2}$. Вычислим высоту $h_{xy}$ спроецированной трапеции. Уравнение прямой $A_1'C_1'$ (проходит через $(0,0)$ и $(1,1)$): $y=x \implies x-y=0$. Уравнение прямой $M'N_1'$ (проходит через $(1/2,0)$ и $(1,1/2)$): наклон $k=\frac{1/2-0}{1-1/2}=1$. Уравнение $y-0=1(x-1/2) \implies y=x-1/2 \implies x-y-1/2=0$. Высота $h_{xy}$ - это расстояние между параллельными прямыми $x-y=0$ и $x-y-1/2=0$: $h_{xy} = \frac{|0 - 0 - \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Площадь спроецированной трапеции $S_{xy}$: $S_{xy} = \frac{1}{2} (|M'N_1'| + |A_1'C_1'|) h_{xy} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{xy}$ формулой $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|}$, где $\gamma$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью $xy$. Вектор нормали к плоскости сечения: $\vec{N}'=(2, -2, 1)$. Вектор нормали к плоскости $xy$: $\vec{k}=(0, 0, 1)$. Косинус угла между плоскостями: $|\cos \gamma| = \frac{|\vec{N}' \cdot \vec{k}|}{|\vec{N}'| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2)(0) + (-2)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{4+4+1} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Площадь сечения: $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{8} \cdot 3 = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.