Номер 35, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходящее через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, что означает длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $AD$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ м.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ проходящее через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $AD$.

Для построения сечения введем систему координат с началом в вершине $A$, осями $x, y, z$ вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Заданные точки сечения:

• Вершина $B_1(1,0,1)$.

• Вершина $D_1(0,1,1)$.

• Середина ребра $AD$. Пусть эта точка $M$. Координаты $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(0,0.5,0)$.

Построение сечения осуществляется следующим образом:

1. Проводим отрезок $B_1D_1$, так как обе точки лежат в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

2. Проводим отрезок $MD_1$, так как обе точки лежат в левой грани $ADD_1A_1$ (плоскость $x=0$).

3. Для нахождения остальных точек сечения, определим уравнение плоскости, проходящей через $M(0,0.5,0)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{MB_1} = (1, -0.5, 1)$ и $\vec{MD_1} = (0, 0.5, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MB_1} \times \vec{MD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 1 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-0.5)(1) - (1)(0.5)) - \mathbf{j}((1)(1) - (1)(0)) + \mathbf{k}((1)(0.5) - (-0.5)(0))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-0.5 - 0.5) - \mathbf{j}(1 - 0) + \mathbf{k}(0.5 - 0) = (-1, -1, 0.5)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(0,0.5,0)$ с нормалью $(-1, -1, 0.5)$:

$-1(x-0) - 1(y-0.5) + 0.5(z-0) = 0$

$-x - y + 0.5 + 0.5z = 0$

Умножим на 2 для удобства: $2x + 2y - z - 1 = 0$.

4. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

• Пересечение с нижней гранью $ABCD$ ($z=0$): $2x + 2y - 1 = 0$.

  Эта линия пересекает ребро $AD$ ($x=0$) в точке $M(0,0.5,0)$ (уже известна).

  Пересекает ребро $AB$ ($y=0$) в точке $P$. Подставим $y=0$: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Таким образом, $P(0.5,0,0)$. Точка $P$ является серединой ребра $AB$.

  Отрезок $MP$ является третьей стороной сечения.

• Пересечение с передней гранью $ABB_1A_1$ ($y=0$): $2x - z - 1 = 0$.

  Эта линия проходит через $P(0.5,0,0)$ (т.к. $2(0.5)-0-1=0$).

  Эта линия проходит через $B_1(1,0,1)$ (т.к. $2(1)-1-1=0$).

  Отрезок $PB_1$ является четвертой стороной сечения.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MPB_1D_1$ с вершинами:

• $M$ - середина ребра $AD$ ($M(0,0.5,0)$)

• $P$ - середина ребра $AB$ ($P(0.5,0,0)$)

• $B_1$ - вершина куба ($B_1(1,0,1)$)

• $D_1$ - вершина куба ($D_1(0,1,1)$)

Этот четырехугольник является равнобедренной трапецией, так как $\vec{MP} = (0.5, -0.5, 0)$ и $\vec{B_1D_1} = (-1, 1, 0)$, что означает $\vec{B_1D_1} = -2\vec{MP}$, то есть $MP \parallel B_1D_1$. Также длины боковых сторон $PB_1$ и $D_1M$ равны.

Найдите его площадь.

Найдем длины оснований трапеции и ее боковых сторон:

• Длина основания $MP = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Длина основания $B_1D_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

• Длина боковой стороны $PB_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для вычисления площади трапеции $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, необходимо найти высоту $h$.

В равнобедренной трапеции $MPB_1D_1$, опустим перпендикуляр из вершины $P$ на основание $B_1D_1$. Пусть основание перпендикуляра - точка $H$. Тогда $B_1H$ равен половине разности длин оснований:

$B_1H = \frac{B_1D_1 - MP}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PB_1H$ (где $PH$ - высота $h$). По теореме Пифагора:

$h^2 = PB_1^2 - B_1H^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16}$

$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{8}$

$h^2 = \frac{10}{8} - \frac{1}{8}$

$h^2 = \frac{9}{8}$

$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2}(MP + B_1D_1)h = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$

$S = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 2}{8}$

$S = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный способ вычисления площади (с использованием векторного произведения):

Площадь четырехугольника $MPB_1D_1$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, например, $\triangle D_1MP$ и $\triangle D_1PB_1$.

Площадь треугольника, заданного векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна $\frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.

Координаты точек: $M(0, 0.5, 0)$, $P(0.5, 0, 0)$, $B_1(1, 0, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Для $\triangle D_1MP$:

$\vec{D_1M} = (0-0, 0.5-1, 0-1) = (0, -0.5, -1)$

$\vec{D_1P} = (0.5-0, 0-1, 0-1) = (0.5, -1, -1)$

$\vec{N_1} = \vec{D_1M} \times \vec{D_1P} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.5 & -1 \\ 0.5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5-1) - \mathbf{j}(0 - (-0.5)) + \mathbf{k}(0 - (-0.25)) = (-0.5, -0.5, 0.25)$.

$|\vec{N_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 0.0625} = \sqrt{0.5625} = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle D_1MP = \frac{1}{2} |\vec{N_1}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Для $\triangle D_1PB_1$:

$\vec{D_1P} = (0.5, -1, -1)$

$\vec{D_1B_1} = (1-0, 0-1, 1-1) = (1, -1, 0)$

$\vec{N_2} = \vec{D_1P} \times \vec{D_1B_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(0-(-1)) + \mathbf{k}(-0.5-(-1)) = (-1, -1, 0.5)$.

$|\vec{N_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5 = \frac{3}{2}$.

Площадь $\triangle D_1PB_1 = \frac{1}{2} |\vec{N_2}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Полная площадь сечения $S = \text{Площадь}(\triangle D_1MP) + \text{Площадь}(\triangle D_1PB_1) = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{6}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $ \frac{9}{8} $ квадратных единиц.