Номер 31, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B$, $D$ и середину ребра $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершины $B, D$ и середину ребра $A_1D_1$.

Перевод в СИ:

Сторона куба $a = 1$ (условных единиц).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

1. Определим вершины сечения.

Пусть сторона куба равна $a=1$. Вершины $B$ и $D$ лежат в нижней грани $ABCD$. Отрезок $BD$ является одной из сторон сечения.

Пусть $M$ - середина ребра $A_1D_1$. Точка $M$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $DM$ является еще одной стороной сечения.

Поскольку плоскость сечения пересекает две параллельные грани куба ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), линии пересечения с этими гранями должны быть параллельны. Линия $BD$ лежит в нижней грани. Следовательно, в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ должна лежать линия, параллельная $BD$ и проходящая через точку $M$.

Диагональ $BD$ параллельна диагонали $B_1D_1$ в верхней грани. Поскольку $M$ является серединой ребра $A_1D_1$, для того чтобы линия, проходящая через $M$, была параллельна $B_1D_1$, она должна соединять $M$ с серединой ребра $A_1B_1$. Обозначим эту точку $N$.

Таким образом, отрезок $MN$ является стороной сечения, и $MN \parallel BD$.

Последняя сторона сечения - отрезок $BN$.

Сечением является четырехугольник $BDMN$. Поскольку $MN \parallel BD$, этот четырехугольник является трапецией. Из симметрии куба и расположения точек $M$ и $N$ как середин ребер $A_1D_1$ и $A_1B_1$ соответственно, трапеция $BDMN$ является равнобедренной (т.е., $DM=BN$).

Ответ: Сечением является равнобедренная трапеция $BDMN$.

Найдите его площадь:

1. Вычислим длины оснований трапеции.

Длина стороны куба $a=1$.

Длина основания $BD$: это диагональ квадрата со стороной $a=1$. Используя теорему Пифагора, $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Длина основания $MN$: $M$ - середина $A_1D_1$, $N$ - середина $A_1B_1$. Треугольник $A_1MN$ - прямоугольный равнобедренный с катетами $A_1M = A_1N = a/2 = 1/2$. По теореме Пифагора, $MN = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Вычислим длину боковой стороны трапеции.

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $D$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда $A=(1,0,0)$, $B=(1,1,0)$, $D_1=(0,0,1)$, $A_1=(1,0,1)$.

Координаты точек: $B=(1,1,0)$, $D=(0,0,0)$.

$M$ - середина $A_1D_1$. $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Длина боковой стороны $DM = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Вычислим высоту трапеции.

Трапеция $BDMN$ является равнобедренной. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на основание $BD$. Пусть $P$ - основание этого перпендикуляра на $BD$. Длина отрезка $DP$ в равнобедренной трапеции равна полуразности оснований:

$DP = \frac{BD - MN}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Высота трапеции $h$ находится из прямоугольного треугольника $DPM$ по теореме Пифагора:

$h^2 = DM^2 - DP^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

4. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} (base_1 + base_2) \cdot height$.

$S = \frac{1}{2} (BD + MN) \cdot h$

$S = \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.