Номер 27, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $CD, AD, AA_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$ (единица длины).

Сечение проходит через:

• Середину ребра $CD$, назовем ее $M$.

• Середину ребра $AD$, назовем ее $N$.

• Середину ребра $AA_1$, назовем ее $P$.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его).

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $CD$, $AD$, $AA_1$.

Пусть $M$ - середина ребра $CD$, $N$ - середина ребра $AD$, $P$ - середина ребра $AA_1$.

Эти три точки $M$, $N$, $P$ не лежат на одной прямой. Так как три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость, сечение куба этой плоскостью является многоугольником. В данном случае, поскольку все три точки лежат на ребрах куба, сечением будет многоугольник, образованный соединением этих точек.

Для определения формы сечения необходимо рассмотреть соединение точек:

1. Точки $N$ и $M$ являются серединами ребер $AD$ и $CD$ соответственно и лежат в плоскости основания куба $ABCD$. Отрезок $NM$ является частью сечения.

2. Точки $N$ и $P$ являются серединами ребер $AD$ и $AA_1$ соответственно и лежат в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Отрезок $NP$ является частью сечения.

3. Точки $M$ и $P$ лежат на ребрах $CD$ и $AA_1$ соответственно. Эти ребра являются скрещивающимися, и отрезок $MP$ соединяет эти точки в пространстве.

Таким образом, поскольку плоскость сечения определяется тремя данными точками, а все эти точки лежат на ребрах куба, сечение представляет собой треугольник $MNP$.

Ответ: Сечением является треугольник $MNP$.

Найдите его площадь.

Сторона единичного куба $a=1$.

Рассчитаем длины сторон треугольника $MNP$.

1. Длина отрезка $MN$:

Точки $N$ и $M$ являются серединами ребер $AD$ и $CD$ соответственно. $ND = AD/2 = a/2 = 1/2$ и $MD = CD/2 = a/2 = 1/2$. В грани $ABCD$ треугольник $NDM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

По теореме Пифагора:

$MN^2 = ND^2 + MD^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

$MN = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Длина отрезка $PN$:

Точки $P$ и $N$ являются серединами ребер $AA_1$ и $AD$ соответственно. $AP = AA_1/2 = a/2 = 1/2$ и $AN = AD/2 = a/2 = 1/2$. В грани $ADD_1A_1$ треугольник $PAN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора:

$PN^2 = AP^2 + AN^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

$PN = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Длина отрезка $PM$:

Точки $P$ и $M$ являются серединами ребер $AA_1$ и $CD$ соответственно. Для нахождения длины $PM$ воспользуемся методом координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Координаты точки $P$ (середина $AA_1$): $P = (0, 0, 1/2)$.

Координаты точки $M$ (середина $CD$): $M = (\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/2, 1, 0)$.

Расстояние между двумя точками $P(x_P, y_P, z_P)$ и $M(x_M, y_M, z_M)$ в пространстве вычисляется по формуле:

$PM^2 = (x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2 + (z_M - z_P)^2$.

$PM^2 = (1/2 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2 = (1/2)^2 + 1^2 + (-1/2)^2 = 1/4 + 1 + 1/4 = 1 + 1/2 = 3/2$.

$PM = \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Таким образом, стороны треугольника $MNP$ равны: $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $PN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $PM = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Так как $MN=PN$, треугольник $MNP$ является равнобедренным.

Площадь треугольника можно найти, используя векторное произведение двух его сторон, например, векторов $\vec{NM}$ и $\vec{NP}$.

Вектор $\vec{NM} = M - N = (1/2 - 0, 1 - 1/2, 0 - 0) = (1/2, 1/2, 0)$.

Вектор $\vec{NP} = P - N = (0 - 0, 0 - 1/2, 1/2 - 0) = (0, -1/2, 1/2)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{NM} \times \vec{NP}$:

$\vec{NM} \times \vec{NP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot (-1/2)) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1/2 \cdot (-1/2) - 1/2 \cdot 0)$

$ = \mathbf{i}(1/4) - \mathbf{j}(1/4) + \mathbf{k}(-1/4) = (1/4, -1/4, -1/4)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{NM} \times \vec{NP}| = \sqrt{(1/4)^2 + (-1/4)^2 + (-1/4)^2} = \sqrt{1/16 + 1/16 + 1/16} = \sqrt{3/16} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь треугольника $MNP$ равна половине модуля векторного произведения:

$S_{MNP} = \frac{1}{2} |\vec{NM} \times \vec{NP}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{3}}{8}$ квадратных единиц.