Номер 20, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $C_1D_1$ и точку на ребре $CD$, отстоящую от вершины $D$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точку $M$ - середину ребра $AB$.

• Точку $N$ - середину ребра $C_1D_1$.

• Точку $P$ на ребре $CD$, такую что расстояние $DP = 0.75$.

Найти:

• Изобразите сечение

• Найдите его площадь

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ будет началом координат $(0,0,0)$, ребро $AB$ направлено вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$

• $B(1,0,0)$

• $C(1,1,0)$

• $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$

• $B_1(1,0,1)$

• $C_1(1,1,1)$

• $D_1(0,1,1)$

Определим координаты заданных точек сечения:

• Точка $M$ - середина ребра $AB$. Ее координаты $M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.

• Точка $N$ - середина ребра $C_1D_1$. Ее координаты $N\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 1, 1)$.

• Точка $P$ на ребре $CD$, отстоящая от вершины $D$ на $0.75$. Ребро $CD$ соединяет $D(0,1,0)$ и $C(1,1,0)$. Вектор $\vec{DC} = C-D = (1,1,0)-(0,1,0) = (1,0,0)$. Тогда точка $P$ имеет координаты $P = D + 0.75 \cdot \vec{DC} = (0,1,0) + 0.75 \cdot (1,0,0) = (0.75, 1, 0)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней куба:

1. Точки $M(0.5,0,0)$ и $P(0.75,1,0)$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$ ($z=0$). Соединим эти точки отрезком $MP$. Этот отрезок является первой стороной сечения.

2. Точки $N(0.5,1,1)$ и $P(0.75,1,0)$ лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$ ($y=1$). Соединим эти точки отрезком $NP$. Этот отрезок является второй стороной сечения.

3. Плоскости нижней грани $ABCD$ и верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$) параллельны. Плоскость сечения, пересекающая эти параллельные плоскости, образует параллельные линии пересечения. Поскольку отрезок $MP$ лежит в нижней грани, а точка $N$ - в верхней грани, через точку $N$ должна проходить сторона сечения, параллельная $MP$.

4. Найдем вектор $\vec{MP} = (0.75-0.5, 1-0, 0-0) = (0.25, 1, 0)$.

5. Через точку $N(0.5,1,1)$ проведем прямую, параллельную вектору $\vec{MP}$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в некоторой точке $Q$. Ребро $A_1B_1$ находится в плоскости $y=0$ и $z=1$, поэтому координаты точки $Q$ будут $(x_Q, 0, 1)$. Вектор $\vec{NQ} = (x_Q-0.5, 0-1, 1-1) = (x_Q-0.5, -1, 0)$.

6. Так как $\vec{NQ}$ параллелен $\vec{MP}$, их координаты пропорциональны. Из равенства $y$-координат имеем $k \cdot 1 = -1 \Rightarrow k = -1$. Тогда $x_Q-0.5 = -1 \cdot 0.25 \Rightarrow x_Q = 0.5 - 0.25 = 0.25$. Таким образом, точка $Q$ имеет координаты $(0.25, 0, 1)$. Эта точка лежит на ребре $A_1B_1$, так как $0 \le 0.25 \le 1$.

7. Соединим точки $N$ и $Q$ отрезком $NQ$. Это третья сторона сечения.

8. Соединим точки $Q$ и $M$ отрезком $QM$. Этот отрезок лежит в плоскости передней грани $ABA_1B_1$ ($y=0$) и является четвертой стороной сечения.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MPNQ$ с вершинами $M(0.5,0,0)$, $P(0.75,1,0)$, $N(0.5,1,1)$, $Q(0.25,0,1)$.

Для определения типа четырехугольника проверим векторы $\vec{MP}$ и $\vec{QN}$. Мы уже нашли $\vec{MP} = (0.25, 1, 0)$. Вычислим $\vec{QN} = N-Q = (0.5-0.25, 1-0, 1-1) = (0.25, 1, 0)$. Так как $\vec{MP} = \vec{QN}$, стороны $MP$ и $QN$ не только параллельны, но и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $MPNQ$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение куба является параллелограммом $MPNQ$, где $M$ - середина ребра $AB$, $P$ - точка на ребре $CD$ на расстоянии 0.75 от $D$, $N$ - середина ребра $C_1D_1$, а $Q$ - точка на ребре $A_1B_1$ на расстоянии 0.25 от $A_1$.

Найдите его площадь

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух векторов, исходящих из одной вершины и образующих его стороны. Возьмем векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MQ}$.

Координаты точек: $M(0.5,0,0)$, $P(0.75,1,0)$, $Q(0.25,0,1)$.

Вектор $\vec{MP} = (0.75-0.5, 1-0, 0-0) = (0.25, 1, 0)$.

Вектор $\vec{MQ} = (0.25-0.5, 0-0, 1-0) = (-0.25, 0, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{MP} \times \vec{MQ}$:

$\vec{MP} \times \vec{MQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.25 & 1 & 0 \\ -0.25 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.25)) + \mathbf{k}(0.25 \cdot 0 - 1 \cdot (-0.25))$

$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0.25) + \mathbf{k}(0.25) = (1, -0.25, 0.25)$.

Площадь параллелограмма $S$ равна модулю этого векторного произведения:

$S = |\vec{MP} \times \vec{MQ}| = \sqrt{1^2 + (-0.25)^2 + 0.25^2}$

$S = \sqrt{1 + 0.0625 + 0.0625}$

$S = \sqrt{1 + 0.125}$

Преобразуем десятичную дробь $1.125$ в обыкновенную:

$1.125 = 1 \frac{125}{1000} = 1 \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Тогда $S = \sqrt{\frac{9}{8}}$.

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.