Номер 15, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $CC_1$, отстоящую от вершины C на 0,25. Найдите его площадь.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a = 1$. Сечение проходит через:

• Середину ребра $BB_1$, обозначим ее $M$.
• Середину ребра $DD_1$, обозначим ее $N$.
• Точку на ребре $CC_1$, отстоящую от вершины $C$ на $0.25$, обозначим ее $K$.

Перевод в систему СИ: Поскольку куб единичный, его ребро принимаем за $a=1$. Все расстояния даны в долях от длины ребра. $a = 1$ (единица длины) $BM = 0.5a = 0.5$ $DN = 0.5a = 0.5$ $CK = 0.25a = 0.25$

Найти:

• Изобразить сечение (описание).
• Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек сечения:
Точка $M$ - середина ребра $BB_1$. $B(1,0,0)$, $B_1(1,0,1)$. $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 0, 0.5)$.
Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. $D(0,1,0)$, $D_1(0,1,1)$. $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$.
Точка $K$ на ребре $CC_1$, отстоящая от вершины $C$ на $0.25$. $C(1,1,0)$, $C_1(1,1,1)$. $K = (1, 1, 0.25)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$ и $K(1,1,0.25)$.
Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MN} = N - M = (0-1, 1-0, 0.5-0.5) = (-1, 1, 0)$. $\vec{MK} = K - M = (1-1, 1-0, 0.25-0.5) = (0, 1, -0.25)$.
Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{MN} \times \vec{MK}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-0.25) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-0.25) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0)$ $\vec{n} = (-0.25, -0.25, -1)$. Для удобства можно использовать пропорциональный вектор нормали, например, $\vec{n'} = (1, 1, 4)$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (1, 1, 4)$, получаем $x + y + 4z + D = 0$. Подставим координаты точки $K(1,1,0.25)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$: $1 + 1 + 4(0.25) + D = 0$ $2 + 1 + D = 0 \Rightarrow D = -3$. Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + y + 4z - 3 = 0$.

Найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже имеем $M$, $N$, $K$. Проверим остальные ребра:

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $0 + 0 + 4z - 3 = 0 \Rightarrow 4z = 3 \Rightarrow z = 0.75$. Точка $P(0,0,0.75)$. Эта точка лежит на ребре $AA_1$, так как $0 \le 0.75 \le 1$.
• Остальные ребра: $AB$, $AD$, $A_1B_1$, $A_1D_1$, $BC$, $B_1C_1$, $CD$, $C_1D_1$ не пересекаются с плоскостью внутри куба, так как соответствующие координаты $x,y,z$ выходят за пределы отрезка $[0,1]$. Например, для ребра $AB$ ($y=0, z=0$): $x+0+0-3=0 \Rightarrow x=3$, что вне куба.

Изобразите сечение:
Сечение представляет собой четырехугольник $PMKN$. Его вершины расположены на вертикальных ребрах куба:

• Вершина $P$ лежит на ребре $AA_1$ на высоте $0.75$ от $A$. ($AP=0.75$).
• Вершина $M$ является серединой ребра $BB_1$. ($BM=0.5$).
• Вершина $K$ лежит на ребре $CC_1$ на высоте $0.25$ от $C$. ($CK=0.25$).
• Вершина $N$ является серединой ребра $DD_1$. ($DN=0.5$).

Найдем площадь параллелограмма $PMKN$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна модулю их векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$. Используем векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$ (с общим началом в $P$): $\vec{PM} = (1, 0, -0.25)$. $\vec{PN} = N - P = (0-0, 1-0, 0.5-0.75) = (0, 1, -0.25)$.
Площадь $S = |\vec{PM} \times \vec{PN}|$: $\vec{PM} \times \vec{PN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -0.25 \\ 0 & 1 & -0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-0.25) - (-0.25) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-0.25) - (-0.25) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$ $= (0.25, 0.25, 1)$.
$S = |(0.25, 0.25, 1)| = \sqrt{(0.25)^2 + (0.25)^2 + 1^2}$ $S = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1}$ $S = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$ $S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $S = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.