Номер 11, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AD$, $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, т.е. длина ребра куба $a = 1$. Сечение проходит через:

• вершину $B$
• середину ребра $AD$, обозначим ее $M$
• середину ребра $B_1C_1$, обозначим ее $N$

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение

Определим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$. Длина ребра куба $a=1$.

Найдем координаты заданных точек:

• Вершина $B$ имеет координаты $(1,0,0)$.
• Точка $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A=(0,0,0)$ и $D=(0,1,0)$, поэтому $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.
• Точка $N$ - середина ребра $B_1C_1$. Координаты $B_1=(1,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$, поэтому $N = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Изобразите сечение

Сечение проходит через точки $B(1,0,0)$, $M(0,0.5,0)$ и $N(1,0.5,1)$.

• Точки $B$ и $M$ лежат в одной грани куба $ABCD$. Соединим их отрезком $BM$.
• Точки $B$ и $N$ лежат в одной грани куба $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $BN$.
• Поскольку грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя) параллельны, а точка $M$ лежит в первой грани, а точка $N$ - во второй, линия пересечения плоскости сечения с гранью $A_1B_1C_1D_1$ (проходящая через $N$) будет параллельна $BM$. * Найдем вектор $BM = (0-1, 0.5-0, 0-0) = (-1, 0.5, 0)$. * Проведем через точку $N(1,0.5,1)$ прямую, параллельную $BM$. Точки этой прямой имеют вид $(1,0.5,1) + t(-1, 0.5, 0) = (1-t, 0.5+0.5t, 1)$. * Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ (которое лежит в плоскости $x=0$ и $z=1$). Подставим $x=0$ в уравнение: $1-t=0 \implies t=1$. * При $t=1$, координаты точки: $(1-1, 0.5+0.5(1), 1) = (0, 1, 1)$. Это точка $D_1$. * Таким образом, отрезок $ND_1$ является частью сечения и параллелен отрезку $BM$.
• Соединим оставшиеся точки $D_1$ и $M$ отрезком $D_1M$. * Проверим параллельность отрезков $BN$ и $D_1M$. * Вектор $BN = (1-1, 0.5-0, 1-0) = (0, 0.5, 1)$. * Вектор $D_1M = (0-0, 0.5-1, 0-1) = (0, -0.5, -1)$. * Так как $D_1M = -BN$, отрезки $BN$ и $D_1M$ параллельны.

Найдем длины сторон параллелограмма:

• $BM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $BN = \sqrt{(1-1)^2 + (0.5-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Найдите его площадь

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей ромба:

• Диагональ $MN$: $M=(0,0.5,0)$, $N=(1,0.5,1)$. $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.
• Диагональ $BD_1$: $B=(1,0,0)$, $D_1=(0,1,1)$. $BD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Сечение является ромбом $MBN D_1$ с вершинами: $B(1,0,0)$, $M(0,0.5,0)$ - середина ребра $AD$, $N(1,0.5,1)$ - середина ребра $B_1C_1$, и $D_1(0,1,1)$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.