Номер 18, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $A_1B_1$, $CD$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0,75. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точка $M$ - середина ребра $A_1 B_1$.
• Точка $N$ - середина ребра $CD$.
• Точка $P$ на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0,75$. То есть $AP = 0,75$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда вершины куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

• Точка $M$ - середина ребра $A_1 B_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $B_1(1,0,1)$.
  $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0,5, 0, 1)$
• Точка $N$ - середина ребра $CD$. Координаты $C(1,1,0)$ и $D(0,1,0)$.
  $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0,5, 1, 0)$
• Точка $P$ на ребре $AB$, $AP = 0,75$. Координаты $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$.
  $P = (0,75, 0, 0)$

Изобразите сечение:

1. Отметим точки $M(0,5, 0, 1)$, $N(0,5, 1, 0)$ и $P(0,75, 0, 0)$.
2. Соединим точки $P$ и $N$. Это отрезок $PN$, лежащий в нижней грани куба $ABCD$.
3. Так как верхняя грань куба $A_1 B_1 C_1 D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью будет параллельна отрезку $PN$.
4. Через точку $M$, лежащую на ребре $A_1 B_1$ верхней грани, проведем прямую, параллельную $PN$. Эта прямая пересечет ребро $C_1 D_1$ в точке $Q$.
5. Найдем координаты точки $Q$. Вектор $\vec{PN} = (0,5 - 0,75, 1 - 0, 0 - 0) = (-0,25, 1, 0)$.
   Так как $MQ \parallel PN$ и $M(0,5, 0, 1)$, то координаты точки $Q$ будут:
   $Q_x = M_x + (-0,25) = 0,5 - 0,25 = 0,25$
   $Q_y = M_y + 1 = 0 + 1 = 1$
   $Q_z = M_z + 0 = 1 + 0 = 1$
   Таким образом, $Q = (0,25, 1, 1)$. Точка $Q$ действительно лежит на ребре $C_1 D_1$ (так как $0 \le 0,25 \le 1$, $y=1$, $z=1$).
6. Соединим последовательно точки $P$, $N$, $Q$, $M$ и $P$. Полученное сечение является четырехугольником $PNQM$.
7. Проверим, является ли $PNQM$ параллелограммом. Для этого достаточно проверить равенство векторов $\vec{PN}$ и $\vec{MQ}$.
   $\vec{PN} = (-0,25, 1, 0)$.
   $\vec{MQ} = (0,25 - 0,5, 1 - 0, 1 - 1) = (-0,25, 1, 0)$.
   Так как $\vec{PN} = \vec{MQ}$, то $PNQM$ является параллелограммом.

Найдите его площадь:

Площадь параллелограмма, образованного двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, исходящими из одной вершины, равна модулю их векторного произведения $|\vec{a} \times \vec{b}|$.

Возьмем векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$:

• $\vec{PM} = (M_x - P_x, M_y - P_y, M_z - P_z) = (0,5 - 0,75, 0 - 0, 1 - 0) = (-0,25, 0, 1)$
• $\vec{PN} = (N_x - P_x, N_y - P_y, N_z - P_z) = (0,5 - 0,75, 1 - 0, 0 - 0) = (-0,25, 1, 0)$

Вычислим векторное произведение $\vec{PM} \times \vec{PN}$:

$\vec{PM} \times \vec{PN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0,25 & 0 & 1 \\ -0,25 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0,25 \cdot 0 - 1 \cdot (-0,25)) + \mathbf{k}(-0,25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0,25))$

$= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(0,25) + \mathbf{k}(-0,25)$

$= (-1, -0,25, -0,25)$

Найдем модуль этого вектора, чтобы получить площадь сечения:

$S = |\vec{PM} \times \vec{PN}| = \sqrt{(-1)^2 + (-0,25)^2 + (-0,25)^2}$

$S = \sqrt{1 + 0,0625 + 0,0625}$

$S = \sqrt{1 + 0,125}$

$S = \sqrt{1,125}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{9}{8}$

$S = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.