Номер 23, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD$, $B_1C_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0.25$. Найдите его площадь.

24. Изобразить сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через:

• Середину ребра $AD$.

• Середину ребра $B_1C_1$.

• Точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0.25$ от длины ребра.

Перевод данных в систему СИ:

• Длина ребра куба: $a = 1$ у.е. (условная единица)

• Расстояние от $B$ до точки на $BC$: $BK = 0.25 \cdot a = 0.25$ у.е.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение

Обозначим длину ребра куба как $a = 1$.

Обозначим точки, через которые проходит сечение:

• Пусть $M$ - середина ребра $AD$. Тогда $AM = MD = a/2 = 0.5$.

• Пусть $N$ - середина ребра $B_1C_1$. Тогда $B_1N = NC_1 = a/2 = 0.5$.

• Пусть $K$ - точка на ребре $BC$, отстоящая от вершины $B$ на $0.25$. Тогда $BK = 0.25$.

Построение сечения

Для удобства построения и вычислений введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$ (нижняя грань)

• $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$ (верхняя грань)

Координаты заданных точек:

• $M$ - середина $AD$. $A=(0,0,0)$, $D=(0,1,0)$. Значит $M=(0, 0.5, 0)$.

• $N$ - середина $B_1C_1$. $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$. Значит $N=(1, 0.5, 1)$.

• $K$ - на $BC$ так, что $BK=0.25$. $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$. Координата $y$ для точки $K$ будет $0.25$. Значит $K=(1, 0.25, 0)$.

Плоскость сечения проходит через точки $M(0, 0.5, 0)$, $K(1, 0.25, 0)$, $N(1, 0.5, 1)$.

• Точки $M$ и $K$ лежат в одной грани ($ABCD$). Соединим их отрезком $MK$.

• Точки $N$ и $K$ лежат в одной грани ($BCC_1B_1$). Соединим их отрезком $NK$.

• Для нахождения остальных вершин сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через $M, K, N$.

  Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MK} = K-M = (1-0, 0.25-0.5, 0-0) = (1, -0.25, 0)$.

  $\vec{MN} = N-M = (1-0, 0.5-0.5, 1-0) = (1, 0, 1)$.

  Нормальный вектор плоскости $\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.25 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - (-0.25) \cdot 1) = (-0.25, -1, 0.25)$.

  Удобнее использовать пропорциональный ему вектор $\vec{n'} = (1, 4, -1)$ (умножив на $-4$).

  Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя $\vec{n'} = (1, 4, -1)$, получаем $x + 4y - z + D = 0$.

  Подставим координаты точки $M(0, 0.5, 0)$ в уравнение: $0 + 4(0.5) - 0 + D = 0 \Rightarrow 2 + D = 0 \Rightarrow D = -2$.

  Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + 4y - z - 2 = 0$.

• Найдем точку пересечения плоскости сечения с ребром $A_1D_1$. Это ребро находится на линии $x=0$ и $z=1$.

  Подставим $x=0$ и $z=1$ в уравнение плоскости: $0 + 4y - 1 - 2 = 0 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$.

  Обозначим эту точку $P$. Её координаты $P=(0, 0.75, 1)$. Эта точка лежит на ребре $A_1D_1$, так как $A_1=(0,0,1)$, $D_1=(0,1,1)$ и $0 \le 0.75 \le 1$.

• Соединим точки $M$ и $P$. Отрезок $MP$ лежит в грани $ADD_1A_1$.

• Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ лежит в грани $A_1B_1C_1D_1$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MKNP$ с вершинами:

• $M(0, 0.5, 0)$

• $K(1, 0.25, 0)$

• $N(1, 0.5, 1)$

• $P(0, 0.75, 1)$

Проверим тип четырехугольника. Вектор $\vec{MK} = (1, -0.25, 0)$. Вектор $\vec{PN} = (1-0, 0.5-0.75, 1-1) = (1, -0.25, 0)$. Поскольку $\vec{MK} = \vec{PN}$, стороны $MK$ и $PN$ параллельны и равны по длине. Следовательно, $MKNP$ является параллелограммом.

Вычисление площади сечения

Поскольку $MKNP$ является параллелограммом, его площадь можно вычислить как модуль векторного произведения векторов, образующих две смежные стороны, например $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$.

$\vec{MK} = (1, -0.25, 0)$.

$\vec{MP} = P-M = (0-0, 0.75-0.5, 1-0) = (0, 0.25, 1)$.

Векторное произведение $\vec{MK} \times \vec{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.25 - 0 \cdot (-0.25)) = (-0.25, -1, 0.25)$.

Площадь $S$ равна модулю этого вектора:

$S = \left\| (-0.25, -1, 0.25) \right\| = \sqrt{(-0.25)^2 + (-1)^2 + (0.25)^2}$

$S = \sqrt{(1/4)^2 + 1^2 + (1/4)^2} = \sqrt{1/16 + 1 + 1/16} = \sqrt{2/16 + 1} = \sqrt{1/8 + 1} = \sqrt{9/8}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ у.е.$^2$.

Альтернативный способ: через диагонали ромба.

Длины смежных сторон $MK$ и $MP$ равны:

$MK = \sqrt{1^2 + (-0.25)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1/16} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

$MP = \sqrt{0^2 + (0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{1/16 + 1} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

Так как $MK = MP$, параллелограмм $MKNP$ является ромбом. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Найдем длины диагоналей $MN$ и $KP$.

$MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$KP = \sqrt{(0-1)^2 + (0.75-0.25)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5 = \frac{3}{2}$.

Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KP = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ у.е.$^2$.

Ответ:

Сечение является ромбом с вершинами $M=(0, 0.5, 0)$, $K=(1, 0.25, 0)$, $N=(1, 0.5, 1)$, $P=(0, 0.75, 1)$. Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ у.е.$^2$.